Quadratische Ergänzung

Einen Term der Form (ax + b)² nennt man vollständiges Quadrat.

Vollständige Quadrate	Unvollständige Quadrate

x² + 4x + 4 = (x + 2)² x² - 4x + 4 = (x - 2)² 4x² - 18x + 20,25 = (2x - 4,5)²	x² + 4x x² - 4 4x² - 18x

Du kannst zu einem unvollständigen Quadrat einen Term addieren, so dass eine binomische Formel angewendet werden kann. Man spricht in diesem Fall von der quadratischen Ergänzung. Die Technik der quadratischen Ergänzung brauchst Du zur Bestimmung der Extremwerte quadratischer Terme und später zur Lösung quadratischer Gleichungen. Hier auf dieser Seite kannst Du mit dem Applet unten erst einmal an einfachen Beispielen üben. Sie haben die Form: x² + bx

x² + bx = (x + __ )² - __

Wenn Du zum Term x² + bx einen Term addierst, dann musst Du gleichzeitig diesen Term subtrahieren. Nur so bleiben ursprünglicher Term und umgeformter Term äquivalent (d.h. gleichwertig). Deine Aufgabe ist es also die Zahlen herauszufinden, die Du oben in die Leerstellen der Gleichung einsetzen musst. Um ein vollständiges Quadrat zu erhalten belegst Du die erste Leerstelle mit b/2. Damit erhältst Du nach der 1.Binomischen Formel:

x² + bx = (x + b/2)² - ___ = (x² + bx + b²/4) - ___

Du hast zum ursprünglichen Term das Quadrat von b/2 hinzugefügt und musst jetzt b²/4 subtrahieren um die Äquivalenz zu erhalten. Ich will es Dir an folgendem Beispiel verdeutlichen. Wir wollen den Term x² + 4/5x quadratisch ergänzen. Du nimmst die Hälfte des Faktors bei x (= 2/5) und vervollständigst damit das Quadrat und gleichzeitig ziehst Du das Quadrat von 2/5 (= 4/25) wieder ab:

x² + 4/5x = (x² + 4/5x + (2/5)²) - (2/5)² = (x + 2/5)² - (2/5)²

Das Applet wird Dir beliebig viele solche Aufgaben stellen und Dich die Leerstellen ausfüllen lassen. Wenn Du etwas falsch machst, wird es versuchen herauszufinden, was Du falsch gemacht hast und dir Hinweise geben. Selbstverständlich zeigt es Dir auch die richtige Lösung. Brüche musst Du in der Form -1/4 eingeben. Die Applets schlucken keine Dezimalzahlen.