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Algebra mit Spaß lernen
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Parabellissima 1
Verschobene Normalparabeln |
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Bella Parabel! Parabellisma! Herzlich willkommen zu unserer Parabellissima-Schau. Wir beginnen heute mit einem neuen Thema und zwar den "Quadratischen Funktionen". Was eine quadratische Funktion mit einer Parabel zu tun hat, wirst du unten gleich erleben. Selbstverständlich fangen wir ganz, ganz einfach an und zwar mit der einfachsten aller quadratischen Funktionen, sozusagen der Urmutter aller quadratischen Funktionen:
y = x2
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Wenn du unten auf 1, 2, 3 usw. klickst, wird rechts neben dem Arbeitsblatt mein Geschmarri eingeblendet. Wie du das Arbeitsblatt zu bedienen hast, wird im ersten Schritt beschrieben. Alles klar? Auf geht's. |
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| Nr. 1 |
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Unten auf dem Arbeitsblatt siehst du einen Schieberegler. Genau genommen sind es zwei Schieberegler die übereinander liegen. Ein Regler ist für positive x-Werte und der andere Regler ist für negative x-Werte zuständig.
Wenn du den Punkt auf den Reglern anklickst, aktivierst u ihn. Beim 2. Klick macht ein kleines Auswahlfenster auf. Dort kannst du zwischen Zahl x+ und Zahl x- wählen und zwar mit Mausklick. Nach deiner Wahl sollte sich der gewählte Regler verschieben lassen z.B. mit x+ nach rechts. Schieben ihn ein wenig hin und her und beobachte was passiert. Danach wählst du den anderen Regler und hast auch dort ein Adlerauge drauf.
Überlege dir, was du hier eigentlich machst. Nimm dir ein Blatt kariertes Papier, zeichne ein Koordinatensystem und erzeuge, wie im Applet links, Punkt für Punkt den Graphen der Funktion
y = x2
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| Nr. 9 |
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STD = Standard heißt, die x-Achse geht von - 10 bis 10 und 1 Skalenstrich = 1 LE. Die y-Achse reicht ebenfalls von - 10 bis 10 und auch hier ist 1 LE = 1 Skalenstrich.
Merke: Weil dein Display rechteckig und nicht quadratisch ist, werden die 20 LE auf der y-Achse wesentlich enger dargestellt als auf der x-Achse.
Was heißt das? Alle deine Graphen sehen nicht so aus wie in deinem Heft oder wie in meinen Applets. Sie sind verzerrt. Sie sind nur eine Skizze, eine gedankliche Hilfe.
Wie die Einstellungen bei INIT sind, kannst du selber nachschauen. Init kannst du auch verwenden. Aber ich empfehle STD. Die Einstellung TRIG brauchst du nur für die Trigonometrischen Funktionen in der 10. Klasse.
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| Nr. 8 |
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Dein Graph schaut anders aus als meiner? Das liegt daran, dass dein Koordinatensystem anders eingestellt ist wie meines. Ich nehme mal an, du hast deine Parabel immer noch im Display, dann kannst Du dein Koordinatensystem neu einstellen, wenn Du auf
F3 = V-WINDOW
drückst. Schau dir meine Einstellung an. |
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Du wählst mit F3 das Standard Koordinatensystem, das ich gewählt habe. Du kommst zurück in das GRAPH-Menü. Drücke jetzt F6 = DRAW und deine Normalparabel schaut so aus wie meine.
Aber jetzt will ich dir doch noch ein wenig das View Window erklären.
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| Nr. 7 |
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| Du stellst den schwarzen Balken auf die erste Zeile und gibst x2 ein. Das x erreichst du unter der roten Alpha-Taste und das x2 neben der roten Alpha-Taste. Du speicherst das Ganze mit EXE. Mit F6 lässt du dir den Graphen zeichnen. |
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| Nr. 6 |
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Also gut, bei dir schaut es anders aus. In der obersten Zeile muss hinter dem Doppelpunkt "y=" stehen. Falls dies nicht der Fall ist, dann ist der falsche Typ eingestellt. Du hast unten am Display eine Menüleiste. Du brauchst den Menüpunkt "Type". Du kannst ihn mit der Funktionstaste F3 auswählen. Ja, richtig, den Menüpunkten im Display sind die 6 Funktionstasten F1 bis F6 zugeordnet. Abzählen wirst du ja können.
OK, du drückst auf F3 und die Menüleiste für "Type" erscheint unten im Display. Der 1. Menüpunkt ist "y=", also drückst Du F1 und der richtige Typ ist eingestellt.
Falls eine oder mehrere Zeilen mit Funktionen belegt sind, stelle mit den Pfeiltasten den schwarzen Balken darüber und wähle mit F2 unten den Menüpunkt DEL = Delete. Räume auf!
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| Nr. 5 |
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| Hier lernst du deinen Rechenknecht einzusetzen. Lerne in der Zeit, dann kannst du es in der Not. In Prüfungen hast du nur den Casio und der kann mehr als rechnen. Lerne ihn zu nutzen! Wir wollen einen Graphen darstellen, deshalb musst du mit den Pfeiltasten deines GTR das Graph-Menü wählen. |
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| Drücke auf die EXE-Taste und du bist im GRAPH-Menü. |
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Bei dir schaut es anders aus?
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| Nr. 4 |
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Du schwörst also auf die Parabelschablone? Du hast ja recht, sie hilft oft, aber nicht immer. Nur wenn auf beiden Koordinatenachsen die Längeneinheit = 1 cm ist, kannst du sie verwenden. Ach ja, du bekommst sie in jeder Schreibwarenhandlung.
An der Tafel ist es ähnlich. Nur wenn gilt 1 LE = 1 Kästchen, kannst du die Tafelschablone verwenden.
Du meinst, du könntest ja auch mit dem graphischen Taschenrechner eine Wertetabelle anlegen und so die Parabel zeichnen? Ha, ha erst einmal können! Du gibst nicht auf, oder? Warum wehrst du dich mit Händen und Füßen zu lernen wie man schnell eine Parabel skizziert? Wenn du es bei den Normalparabeln lernst, ist es nur ein Muggesäggele (Erinnerung ans Allgäu) zu allen anderen Parabeln.
So und jetzt zeige ich dir, wie du mit deinem Casio GTR die Normalparabel erzeugst. Danach gibt es Parabel-Schubsen, d.h. wir werden die Normalparabel parallel verschieben und schauen wie sie reagiert.
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| Nr. 3 |
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Wenn du eine Normalparabel ohne Schablone zeichnen willst, ja so etwas gibt es auch, dann ist dein wichtigster und einziger Bezugspunkt der Scheitelpunkt. Die Methode, die ich dir jetzt verrate, funktioniert nämlich auch dann, wenn wir die Normalparabel im Koordinatensystem herumschubsen. Was wir ügrigens auch gleich machen werden.
Du gehst vom Scheitel aus um 1 LE nach rechts. Das Quadrat von 1 ist 1. Also gehst du nun um 1 LE nach oben. Dann gehst du vom Scheitel aus um 2 LE nach rechts. Das Quadrat von 2 ist 4. Also gehst du noch um 4 LE nach oben.
Weiter so. Du gehst vom Scheitel aus um 3 LE nach rechts. Bildest das Quadrat von 3 und gehst dann noch um die 9 LE nach oben.
Links vom Scheitel machst du es genauso. Damit hast du 7 Punkte der Parabel und du solltest sie skizzieren können.
Du meinst du hast eine Schablone und du brauchst das nicht zu können? Was machst du, wenn 1 LE = 0,5 cm ist?
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| Nr. 2 |
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Bevor ich dir erkläre wie du so eine Normalparabel auf dem Papier oder an der Tafel ganz schnell und problemlos erzeugen kannst, müssen wir erst die Begriffe klären, wie z.B. oben den Begriff Normalparabel.
Die Gleichung y = x2
mit  =  x bestimmt eine quadratische Funktion f.
Der Graph der Funktion ist eine Normalparabel p. Sie ist symmetrisch zur y-Achse. Der Punkt des Graphen auf der Symmetrieachse heißt Scheitelpunkt S der Parabel. Es ist der tiefste Punkt der Normalparabel.
Es gilt:
Definitionsmenge  =
Wertemenge  = 0+ |
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Also wie zeichnest du so eine Normalparabel? Was macht der Schieberegler?
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So und jetzt werden wir die Normalparabel verschieben. Zunächst entlang der x-Achse und dann entlang der y-Achse. Dazu habe ich unten das Arbeitsblatt geschaffen. Du musst die rote Leiste mit der Maus packen, anklicken und die Maustaste gedrückt halten, und das Arbeitsblatt soweit nach links schieben, bis der rechte Rand frei ist. Natürlich für mein Geschmarri, ein Geschmarri, dass dich lehrt. Ansonsten läuft es wie oben. |
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| Nr. 1 |
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Du hast im Arbeitsblatt links einen roten Schieberegler, mit dem du das Arbeitsblatt beeinflussen kannst. Wenn ich dsich jetzt bitte den roten Schieberegler in Ruhe zu lassen, auf a = 1 stehen zu lassen, wirst du das machen?
Ja, ich weiß, was du denkst. Lass den Alten reden, ich sage ja und mache es trotzdem. Ich bin dir nicht böse. Nur hinterher solltest du den roten Regler wieder auf a = 1 stellen.
Wenn du es nicht machst, hast du keine Normalparabel mehr. Der Öffnungsfaktor a einer Parabel schließt und öffnet eine Parabel wie eine Blume. Der Öffnungsfaktor einer Normalparabel ist nun mal 1.
Die blaue Normalparabel kannst du mit der Maus am Scheitel S packen und verschieben. Du klickst den Punkt S an und hältst die Maustaste gedrückt. So kannst du die Parabel verschieben.
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| Nr. 8 |
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Die Normalparabel ist um
4 LE nach unten verschoben.
Gleichung: y = x ² - 4
Scheitelpunkt: S( 0 / - 4)
Vektor: 
Nullstellen: 2
Wertemenge:
= 
Ergebnis:
Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung
y = x2 + yS
ist eine in Richtung der
y-Achse verschobene Normalparabel p. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S( 0 / yS).
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| Nr. 7 |
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Die Normalparabel ist um
1 LE nach unten verschoben.
Gleichung: y = x ² - 1
Scheitelpunkt: S( 0 / - 1)
Vektor: 
Nullstellen: 2
Wenn ein Graph die
x-Achse schneidet, nennt man den Schnittpunkt: "eine Nullstelle", dort ist der
y-Wert = 0.
Der Graph der Normalparabel
y = x²
hat nur eine Nullstelle, nämlich den Scheitel.
Wertemenge:
= 
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| Nr. 6 |
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Die Normalparabel ist um
4 LE nach oben verschoben.
Gleichung: y = x ² + 4
Scheitelpunkt: S( 0 / 4)
Vektor: 
Nullstellen. keine
Wenn ein Graph die
x-Achse schneidet, nennt man den Schnittpunkt: "eine Nullstelle", dort ist der
y-Wert = 0.
Der Graph der Normalparabel
y = x²
hat nur eine Nullstelle, nämlich den Scheitel.
Wertemenge: = 
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| Nr. 5 |
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Die Normalparabel ist um
1 LE nach oben verschoben.
Gleichung: y = x ² + 1
Scheitelpunkt: S( 0 / 1)
Vektor: 
Nullstellen. keine
Wenn ein Graph die
x-Achse schneidet, nennt man den Schnittpunkt: "eine Nullstelle", dort ist der
y-Wert = 0.
Der Graph der Normalparabel
y = x²
hat nur eine Nullstelle, nämlich den Scheitel.
Wertemenge: = 
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| Nr. 4 |
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Ergebnis:
Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung
y = ( x - xS)²
ist eine in Richtung der
x-Achse verschobene Normalparabel. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(xS / 0)
So jetzt schiebst du die Parabel wieder mit dem Scheitel in den Ursprung. Du erhältst den Graphen der Urmutter aller Parabeln y = x² . Du sollst jetzt dasselbe in Richtung der y-Achse veranstalten.
Bewege die Parabel rauf und runter und beobachte was mit der unteren Gleichung passiert. Achte ebenfalls auf die Koordinaten des Parabelscheitels und des Verschiebungsvektors.
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| Nr. 3 |
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Die Normalparabel ist um
1 LE nach links verschoben.
Gleichung: y = (x + 1)²
Scheitelpunkt: S( - 1 / 0)
Vektor: 
Symmetrieachse: x = - 1
Wertemenge: = 0+
Die Normalparabel ist um 4 LE nach links verschoben.
Gleichung: y = (x + 4)²
Scheitelpunkt: S( - 4 / 0)
Vektor: 
Symmetrieachse. x = - 4
Wertemenge: = 0+
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| Nr. 2 |
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Schiebe die Normalparabel auf der x-Achse hin und her.
Die Normalparabel ist um
1 LE nach rechts verschoben.
Gleichung: y = (x - 1)²
Scheitelpunkt: S( 1 / 0)
Vektor: 
Symmetrieachse: x = 1
Wertemenge: = 0+
Die Normalparabel ist um 4 LE nach rechts verschoben.
Gleichung: y = (x - 4)²
Scheitelpunkt: S( 4 / 0)
Vektor: 
Symmetrieachse. x = 4
Wertemenge: = 0+
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So jetzt will ich sehen, ob du mit meinem Arbeitsblättern etwas gelernt hast.
Aufgabe 1:
Unten siehst du Ausschnitte von 6 Graphen. Es handelt sich um 6 verschobene Normalparabeln. Rechts am Rand sind 6 Parabelgleichungen. Ziehe die Gleichungen mit der Maus (anklicken und Maustaste gedrückt halten) unter den zugehörigen Graphen. Ob du es richtig gemacht hast, siehst du, wenn du die Graphen anklickst. |
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Aufgabe 2:
Die Normalparabel y = x² ist verschoben worden. Du sollst aus den Funktionsgleichungen = Parabelgleichungen der verschobenen Normalparabeln sowohl die Koordinaten des Scheitelpunktes als auch die Koordinaten des Verschiebungsvektors bestimmen. Wenn du die Parabelgleichung = Funktionsgleichung anklickst, wird die Lösung eingeblendet. |
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| a) y = (x + 2,5)2 |
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| b) y = x2 + 5,5 |
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| c) y = (x + 5,5)2 |
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| d) y = x2 + 2,5 |
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| e) y = x2 - 50 |
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| f) y = (x - 50)2 |
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Hi du, hast du es geschnallt wie das mit den Vorzeichen bzw. Rechenzeichen läuft? Eine Verschiebung in Richtung der x-Achse steht in der Klammer und das Rechenzeichen dort ist entgegengesetzt zum Vorzeichen der x-Koordinate des Scheitelpunktes. Eine Verschiebung in Richtung der y-Achse fügst du ohne Klammer hinter dem x² an und hier sind Rechenzeichen und Vorzeichen der y-Koordinate des Scheitels identisch.
Wenn du das jetzt nicht verstehst, musst du wieder oben von vorne anfangen. Ich meine das ernst, das ist kein Spott. Lernen ist mühsam und braucht Zeit und Zuwendung zum Thema, und Fleiß, und wenn du bereit bist, dieses zu leisten, bist du bei mir richtig. Wenn du aber glaubst, du könntest dich hier in kürzester Zeit durch ein Mathe-Thema zappen, liegst du völlig falsch. Es ist wie im Sport, ohne Training geht es nicht. Du musst es bringen und das kostet Zeit. Wer dir etwas anderes verspricht, ist ein Lügner. Aber auch Anstrengung und Schweiß kann Spaß machen, weil du totsicher deine Fortschritte merken wirst. Das war für Anke. Wer das ist? Anke tauchte eines Tages wie der weiße Hai aus dem Internet auf. Und was hat sie getan? Sie hat sich einfach in mein Unterrichten eingemischt. Sie meint ich sei für die Menschheit völlig überflüssig, weil ich dich nicht angemessen behandeln würde, mein lockerer Ton würde deine Seele beschädigen und weil ich ein geringes Entgelt für meine Nachhilfe einfordere. OK, vergessen wir Anke, als Assistentin für mich ist sie mit dieser Einstellung völlig ungeeignet. Ich ändere mich nicht mehr. Wem es nicht gefällt, soll sich einen anderen Lehrer suchen.
Du bringst es! |
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Dienstag 15 September, 2009 19:29
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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