Allgemeine Parabeln in Scheitelform

Parabellissima 4
Allgemeine Parabeln in Scheitelform y = a (x - x_S)² + y_SS

Drei Seiten lang hat es gedauert und heute ist es endlich soweit. Du darfst den roten Schieberegler nach Herzenslust bewegen. Grüß Gott und herzlich willkommen zu einer neuen Ausgabe der Parabellissima-Schau. Schön, dass du da bist.

Also es geht um den roten Schieberegler, den Öffnungsfaktor der Parabeln, und inwieweit dieser Öffnungsfaktor das bisher Gelernte abändert oder auch nicht abändert. Um den roten Schieberegler allein beobachten zu können, müssen wir alle anderen Einflussfaktoren ausschalten, d.h. sowohl der blaue als auch der grüne Schieberegler müssen auf Null stehen. Do it! Das Arbeitsblatt (Applet) zeigt dann den Graphen der Normalparabel y = x².

So und jetzt geht es aber mit roten Schieberegler nach links und rechts. Durch Anklicken aktivierst du ihn, mit dem 2. Klick und gedrückter Maustaste kannst du ihn bewegen. Vergleiche die entstehenden Parabeln immer mit der Normalparabel. Du musst genau beobachten. Formuliere das was du siehst auf Papier.

Wenn du glaubst, den Einfluss des Öffnungsfaktors "a" genau genug beschrieben zu haben, dann schiebe das Arbeitsblatt (Applet) zur Seite und vergleiche deine Beschreibung mit meiner. Dabei kommt es nur auf den mathematischen Inhalt an, nicht auf die Schönheit der Formulierung. Also trau dich ruhig, deine eigenen Worte zu verwenden.

Nr. 1

Gleichungen der Form

y = ax²

mit a \ {0} legen Parabeln fest.

Der Faktor a heißt Öffnungsfaktor und gibt die Form der Parabel an.

Dabei gilt:

a > 0

=> nach oben geöffnet
=

a < 0

=> nach unten geöffnet
=

|a| > 1 => gestreckt
(schmal, eng, wie eine geschlossene Blüte)

|a| = 1 => Normalparabel

|a| < 1 => gestaucht
(breit, wie eine weit geöffnete Blüte)

Nr. 4

Du sollst die Parabel

y = 0,5 x²

mit dem Vektor verschieben. Welche Einstellung muss der grüne und blaue Schieberegler haben?

Der grüne Schieberegler muss auf 3 stehen und der blaue auf 2. Worauf wartest du? Du meinst das brauchst du nicht? Du kannst das? Du weißt worauf ich hinaus will? Ich bitte dich inständig, mach' einfach das mit dem Arbeitsblatt, was ich dir empfehle, und halte deine Augen offen und auch deinen Verstand. Du hast einen Verstand, wie jeder Mensch. Wenn ich nicht davon überzeugt wäre, wäre meine Arbeit sinnlos.

Ändert sich an der Form der Parabel irgendetwas? Nein! Das wusstest du schon vorher? Ich war mir nicht sicher, ob du nicht zweifelst.

Wie schaut die 2. Gleichung aus?

p: y = 0,5 (x - 3)² + 2

Die 3. Gleichung interessiert uns erst auf Seite 5. Unter dem Arbeitsblatt geht es weiter.

Nr. 3

Wie skizzierst du die Parabel

y = 0,5x²

mit Hilfe von 7 Punkten ohne Wertetabelle?

Der Scheitel liegt immer noch im Ursprung. Das spielt aber keine Rolle.

Du stellst den roten Schieberegler auf 0,5. So kannst du mein Kopfrechnen anhand der Zeichnung verfolgen.

Du gehst vom Scheitel aus um 1 LE nach rechts. Jetzt darfst Du aber nicht, wie gerade, um 1² LE nach oben gehen, sondern nur um 0,5 • 1² LE = 0,5 LE. Dort machst du dein Kreuz für den Punkt.

Du gehst vom Scheitel aus um 2 LE nach rechts und um 0,5•2² LE = 2 LE nach oben. Du hast den 3. Punkt.

Du gehst vom Scheitel aus um 3 LE nach rechts und um 0,5•3² LE = 4,5 LE nach oben. Links vom Scheitel machst du es genauso.

Wenn du die Parabel verschiebst, ändert sich zwar der Scheitel, da du aber immer vom Scheitel aus abgezählt hast, ändert sich an der Technik des Skizzierens nichts.

Nr. 2

Wenn du die Gleichungen beobachtet hast, dann hat der Öffungsfaktor a keinerlei Einfluss auf den Scheitelpunkt. Was folgt daraus? Alle die Aufgaben, die du bisher mit dem Öffnungsfaktor a = 1 gemacht hast, kannst du genauso mit einem beliebigen Öffnungsfaktor formulieren.

Auf Seite 1 habe ich versucht dir beizubringen, wie du die Normalparabel y = x² ohne Parabelschablone und ohne Wertetabelle zeichnen kannst.

Kannst du es noch? Um eine Parabel zu skizzieren brauchst du mindestens 7 Punkte, den Scheitel und links und rechts davon je 3 Punkte.

So wie steter Tropfen den Stein höhlt, füllt stetes Wort das Hirn. Also machen wir es noch einmal und dann noch einmal.

Du gehst vom Scheitel aus um 1 LE nach rechts und um das Quadrat 1² LE nach oben => Punkt 2. Dann um 2 LE nach rechts und um 2² LE = 4 LE nach oben => Punkt 3. Dann um 3 LE nach rechts und um 3² LE = ) LE nach oben => Punkt 4. Genauso machst du es links vom Scheitel und du hast deine 7 Punkte. Wie ist das bei der Parabel

y = 0,5x²

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Beispiel:

Gib die Koordinaten des Scheitels der Parabeln mit folgender Gleichung an. Beschreibe die Form der Parabel. Bestimme die Gleichung der Symmetrieachse und die Wertemenge.

y = - 0,5 (x + 1)² + 3

Scheitelpunkt: S (- 1 / 3)
a = - 0,5 => nach unten geöffnet und gestaucht (weit offen)
Symmetrieachse: x = - 1
=

[Der Scheitel ist der höchste Punkt. Der y-Wert des Scheitels y_S = 3 ist der größtmögliche y-Wert.]

Aufgabe 1:

Gib die Koordinaten des Scheitels der Parabeln mit folgender Gleichung an. Beschreibe die Form der Parabel. Bestimme die Gleichung der Symmetrieachse und die Wertemenge. Mit Mausklick auf die Parabelgleichung wird die Lösung eingeblendet.

Aber bitte versuche es erst selber gemäß dem Beispiel oben. Du weißt doch, nur wer das Schnitzel selber ißt, wird satt. Ohne Fleiß keinen Preis. Ohne eigene Anstrengung, kein Erfolg. Die Pille für Mathe gibt es nicht, auch wenn es manche glauben.

a) y = - (x + 1)² - 4

b) y = (x - 12)² - 4

Scheitelpunkt: S (- 1 / - 4)
a = -1 => nach unten geöffnete Normalparabel
Symmetrieachse: x = - 1
=

Scheitelpunkt: S (12 / - 4)
a = -1 => nach oben geöffnete Normalparabel
Symmetrieachse: x = 12
=

c) y =

x² + 3

d) y = 0,25 (x + 5,5)²

Scheitelpunkt: S (0 / 3)
a = => nach oben geöffnet und gestaucht (weit offen)
Symmetrieachse: x = 0
=

Scheitelpunkt: S (- 5,5/ 0)
a = 0,25 => nach oben geöffnet und gestaucht (weit offen)
Symmetrieachse: x = - 5,5
=

Aufgabe 2:

Die Parabel p wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor auf die Parabel p' abgebildet. Bestimme die Gleichung der Bildparabel. Zeichne die Parabeln p und p'. Mit Mausklick auf die Parabelgleichung bledest Du die Lösung ein.