b)

Du sollst den Flächeninhalt eines Parallelogramms im Koordinatensystem bestimmen. Dazu benötigst du die Determinantenformel, wie meistens, wenn du Flächeninhalte im Koordinatensystem berechnen sollst.

Weißt du noch, was eine Determinante ist? Und was die Variablen bedeuten?

Für dich ist eine Determinante ein Zahlenschema aus 2 Spalten und 2 Zeilen mit 2 senkrechten Strichen links und rechts. Du kannst die Determinante aber auch als Maschine ansehen, die 2 Vektoren zu Hackfleisch macht. Genauer gesagt die 4 Zahlen werden miteinander verrechnet. Ziehe links den Punkt D_n mit der Maus und beobachte diese Verrechnung.

Nullstellenbedingung: y = 0

=>

Das war es! => unten

Kommt dir die Gleichung bekannt vor? Nein? Multipliziere sie mit - 2 .

Wir sind auf einem anderen Weg wieder bei der Gleichung von vorhin angelangt. Wir machen die quadratische Gleichung wieder zu einer quadratischen Funktion.

Diesmal will ich dir zeigen wie du aus der Scheitelform dieser Parabel die Nullstellen berechnen kannst.

a = 6; b = 14, c = - 20

mit     m₁ • m₂ = - 1 gilt:

Wenn das Parallelogramm eine Raute ist, dann müssen die Vektoren

und aufeinander senkrecht stehen. Aus

berechnest Du

=>

Als nächstes musst den Mittelpunkt M der Strecke [AC] berechnen und zwar mit der Mittelpunktsformel.

Jetzt kannst Du den Vektor berechnen.

Ich hoffe du hast links im Arbeitsblatt überprüft, ob du wirklich Rauten erhältst. Für
x₂ = 1 scheint die Raute sogar ein Quadrat zu sein.

Du müsstest nachweisen, dass die beiden Vektoren, die die Raute aufspannen, aufeinander senkrecht stehen. Das will ich hier aber nicht machen.

Ich hatte dir ja versprochen, die zweite Eigenschaft der Raute, dass ihre Diagonalen aufeinander senkrecht stehen, zu verwenden, um die x-Werte herauszufinden, bei denen das Parallelogramm eine Raute wird. Was herauskommen muss, wissen wir ja schon.

x₁ = - 3,33 und x₂ = 1

Wenn zwei Geraden aufeinander senkrecht stehen, dann gilt für ihre Steigungen:

m₁ • m₂ = - 1

Steigungen kannst du auch aus Steigungsvektoren berechnen, d.h. du brauchst jeweils einen Vektor, der auf der Geraden liegt.

Mit GRAPH:

dann F6 und F5 bist du im G-Solv Fenster. Dort wählst du mit F1 den Menüpunkt ROOT. Der Casio berechnet dir jetzt die linke Nullstelle.

Du drückst einmal die Pfeiltaste nach rechts und die rechte Nullstelle wird berechnet.

Damit hat die Gleichung

die Lösungen:

x₁ = - 3,33 und x₂ = 1

Wie man eine quadratische Gleichung löst, weißt du noch nicht. Dieses Thema wird erst nach den quadratischen Funktionen behandelt. Doch ich werde dir beweisen, dass du ohne Kenntnisse über quadratische Gleichungen, sondern nur mit deinen Kenntnissen über Parabeln die Gleichung oben lösen kannst.

Wenn du die Null auf der rechten Seite durch ein y ersetzt, hast du keine quadratische Gleichung mehr, sondern eine quadratische Funktion. Für die Nullstellen dieser Funktion (= Schnittpunkte mit der x-Achse) gilt:

y = 0

und damit

Wir haben das Problem etwas umformuliert und können es, zumindest mit dem Casio-GTR, lösen.

Damit sieht die Gleichung wie folgt aus:

Jetzt werden die Binome aufgelöst.

Unsere Mühen werden mit einer quadratischen Gleichung belohnt. Doch, du kannst sie lösen!

Wie man die Wurzeln wegbringt? Du musst nur beide Seiten der Gleichung quadrieren.

So jetzt hast du dreimal dasselbe Problem. Welche binomische Formel ist für so ein Binom mit zwei Minuszeichen zutreffend?

Du klammerst innerhalb der eckigen Klammer (-1) aus.

Wenn das Parallelogramm eine Raute ist, dann muss gelten:

Die beiden Vektoren haben wir ja schon aufgestellt.

damit gilt:

Wie man die Wurzeln wegbringt? Du musst nur beide Seiten der Gleichung quadrieren.

e)

Welche Eigenschaften hat eine Raute?

• Alle Seiten sind gleich lang.
  
• Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht.

Beide Eigenschaften kannst du benutzen um die Aufgabe zu lösen. Ich werde dir beide Lösungen vorführen.

"Alle Seiten sind gleich lang", diese Eigenschaft werde ich zuerst benutzen.

Wie bestimmst du die Länge einer Strecke im Koordinatensystem? Richtig du machst die Strecke zu einem Vektor und berechnest die Länges dieses Vektors, z. B. gilt links:

Wir tun so als hätten wir eine Parabel

y = 7 x² - 3 x + 25

Und bestimmen den Scheitel mit der Scheitelformel:

x_S = - y_S = -

a = 7; b = - 3; c = 25

A_min =

für x =

mit dem Casio-GTR:

Graph: y = 7 x² - 3 x + 25
=> F6 => F5 => F3

Die Parabel ist im Display nicht sichtbar (Scheitel!). Der Scheitel wird trotzdem bestimmt

Es ist wichtig, wenn du die beiden Klammern rechts ausmultiplizierst, dass du das Produkt in Klammern setzt und das Minuszeichen vor dem Produkt noch nicht berücksichtigst. 2 von 3 Schülern scheitern an dieser Klippe. Sie machen Vorzeichenfehler und dann fällt das x³ nicht weg und alles ist zu Ende.

Beide Vektoren musst du jetzt "richtig herum" in die Determinante einsetzen. Hier ist es besonders wichtig, weil du mit nachträglich angebrachten Betragstrichen nichts erreichst.

Was heißt "richtig herum einsetzen"?

'tschuldigung! Ich muss erst einmal einen Schluck Bier trinken. Jetzt habe ich mir in 4 Einblendungen den Mund trocken geredet.

Also noch einmal: Der Vektor, den du gegen den Uhrzeigersinn drehen musst, damit er die Fläche überstreicht, ist Vektor Nr. 1. Er bildet die erste Spalte der Determinante. Wenn du das beherzigst, bekommst du nie Probleme!

So und nach dem (notwendigen) Gewaaf können wir uns endlich der Aufgabe zuwenden.

Für x = 2 ist D ( 2 / 8)

Die Vektoren berechnest du mit "Spitze - Fuß".

Du setzt die beiden Vektoren richtig herum in die Determinante ein.

Nehmen wir mal an, du hast irgend zwei Vektoren geschnappt, die das Dreieck bzw. das Parallelogramm aufspannen, und hast sie als Spalten in die Determinante eingesetzt, und du bekommst eine negative Fläche heraus, dann hast du zwei Möglichkeiten. Entweder fängst du von Vorne an, oder du setzt nachträglich die Determinante in Betragstriche. Dein Lehrer glaubt dir das zwar nicht, dass du so schlau bist, aber er kann nichts machen. Es ist richtig! Du musst es nur ausprobieren. Das kostet zwar Zeit, aber du lernst.

Der Trick mit den Betragstrichen hilft dir aber nur, wenn in der Determinante nur Zahlen stehen. Sobald dort ein Term mit einer Variablen auftaucht stehst du auf dem Schlauch. Kein Wasser fließt! Das Haus brennt ab.

Du brauchst 2 Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen, von einem Punkt ausgehen und du musst sie richtig herum einsetzen.

Die 1. Spalte der Determinante bildet der Vektor, der gegen den Uhrzeigersinn gedreht, das Dreieck bzw. das Parallelogramm überstreicht. Die 2. Spalte ist der andere Vektor.

Du brauchst zwei Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen. Sie müssen einen gemeinsamen Fußpunkt haben, d. h. vom selben Punkt ausgehen. Wenn du das nicht beachtest, bekommst du große Schwierigkeiten mit den Vorzeichen, d.h. du bekommst plötzlich negative Flächen.

Was die Vektoren mit der Determinante zu tun haben? Schau dir links einmal die Spalten der Determinante an und vergleiche die Zahlenwerte mit den beiden Vektoren.

Probiere es ruhig einmal aus. Nimm das Dreieck ACD_n! Das Dreieck ist ein halbes Parallelogramm. Erinnerst du dich? Du kannst alle Vielecke im Koordinatensystem in Dreiecke zerlegen und damit deren Flächeninhalt berechnen. Ein Dreieck hat 3 Seiten, die du zu Vektoren machen kannst. Wenn du die Pfeilrichtung umkehrst, hast du 6 Vektoren, von denen immer zwei das Dreieck aufspannen.

Setze die Vektoren als Spalten in die Determinante ein. Den Flächeninhalt des Dreiecks bekommst du, wenn du die Determinante mit 0,5 multiplizierst (halbes Parallelogramm!) .