Überlege zuerst, auf welcher "Linie" die Punkte C_n und B_n liegen müssen. Verändere dann dein Dreieck indem du den Schieberegler oben hin und her ziehst. Was beobachtest du?

Der Flächeninhalt des jeweiligen Dreiecks wird angezeigt. Gibt es einen größten Flächeninhalt?

a) Berechne den Flächeninhalt A aller Dreiecke in Abhängigkeit von x.

Ich lasse von hier ab die Bezeichnung x_C weg und spreche nur noch von x. Das musst du nämlich normalerweise selbst erkennen, was x bedeutet.

b) Bestimme den Flächeninhalt und den zugehörigen x-Wert für das flächengrößte Dreieck.

c) Für welche Werte von x erhältst du überhaupt Dreiecke AB_nC_n mit dem richtigen Umlaufsinn?

Du erinnerst dich an die Aufgabe 1 auf der letzten Seite? Die Aufgabe mit dem Flächeninhalt eines Parallelogramms? Alles was ich dort zur Determinantenmethode gesagt habe, gilt hier natürlich auch. Wenn du glaubst, ich wiederhole hier alles zu deiner Bequemlichkeit noch einmal, dann bist du schief gewickelt. Gehe zurück und wiederhole es dort.

Nr. 6

Es gilt:

Du musst mal wieder eine quadratische Gleichung lösen, obwohl du das noch gar nicht gelernt hast. Weißt u noch, wie wir das Problem das letzte Mal gelöst haben? Du bestimmst einfach mit dem Casio-GTR die Nullstellen der Parabel

y = - 3.5x² + 32 x

GRAPH y = - 3.5x² + 32 x; F6, F5, F1 (ROOT)

x₁ = 0 und x₂ =9,142857.... =>

c) Für welche Werte von x erhältst du überhaupt Dreiecke AB_nC_n mit dem richtigen Umlaufsinn?

Mit dem Schieberegler kannst du C auf der Parabel laufen lassen und ziemlich gut abschätzen zwischen welchen Grenzen sich x bewegen darf. Die linke Grenze ist 0. Die rechte Grenze liegt zwischen 9,1 und 9,2. Aber wie kannst du das genau berechnen?

Wenn A(0/0), B und C auf einer Geraden liegen, existiert kein Dreieck mehr. Wandert C weiter nach unten, ist der Umlaufsinn der Dreiecke falsch. Für die rechte Grenze gilt demnach, dass die Vektoren

=>

und

=>

die gleiche Steigung haben (A liegt im Ursprung).

b) Bestimme den Flächeninhalt und den zugehörigen x-Wert für das flächengrößte Dreieck.

Du berechnest den Scheitel der Parabel

y = - 1,75 x² + 16x

a = - 1,75; b = 16; c = 0

mit x_S = - und y_S = - gilt:

x_S =

y_S =

=> y = - 1,75 (x - 4,57)² + 36,57

=> A_max = 36,57 FE für x = 4,57

Vektor 1:

Vektor 2:

Die Flächenformel des Parallelogramms ändert sich beim Dreieck nur durch den Faktor . Ein Dreieck ist sozusagen ein halbes Parallelogramm.

Du brauchst jetzt zwei Vektoren, die das Dreieck aufspannen.

Was heißt "Richtig herum einsetzen", wie es Katrin oben fordert? Vektor 1 = "1. Spalte der Determinante" ist der Vektor, den du gegen den Uhrzeigersunn drehen musst, damit er die Fläche überstreicht. Also gilt:

a) Fertige eine Zeichnung für x = 4 an. Welches besondere Viereck entsteht? Bestätige durch Rechnung.

b) Zeige, dass sich der Flächeninhalt A der Vierecke wie folgt darstellen lässt:

A(x) = (-x² + 4x + 32) FE

c) Ermittle den Extremwert des Flächeninhalts.

zu a) Gelegentlich solltest du mal wieder etwas selber zeichnen, sonst verlernst du es noch ganz. Na gut ich überlasse es dir.

In dieser Aufgabe ist alles abhängig von der x-Koordinate des Punktes C. Stelle den Schieberegler auf 4. Was für ein Viereck entsteht?

Es ist ein Trapez, oder genauer, es ist ein allgemeines Trapez. Wie kannst du dies nachweisen? Du musst eine Eigenschaft des allgemeinen Trapezes benutzen. Wann ist ein Viereck ein Trapez? Richtig! Wenn zwei Seiten parallel sind. Du musst nachweisen, das Strecke [AB] parallel zu Strecke [CD] ist.

Mit A₁ = 20 FE und A₂ = - x² + 4x +12 FE gilt:

A =A₁+A₂=20+(- x² + 4x +12) = (- x² + 4x +32) FE

c) Ermittle den Extremwert des Flächeninhalts.

Dazu berechnest Du den Scheitel der Parabel

y = - x² + 4x +32

mit a = - 1; b = 4; c = 32 und x_S = - und
y_S = - gilt:

x_S = und y_S =

=> A_max = 36 FE für x = 2

Dreieck DBC_n:

Vektor 1:

Vektor 2:

b) Zeige, dass sich der Flächeninhalt A der Vierecke wie folgt darstellen lässt:

A(x) = (-x² + 4x + 32) FE

Der Flächeninhalt allgemeiner Vielecke im Koordinatensystem berechnest du, indem du sie in Dreiecke zerlegst und deren Flächeninhalt mit der Determinantenformel bestimmst.

Das Viereck ABC_nD zerlegst du am Besten in das Dreieck ABD und das Dreieck DBC_n.

Dreieck ABD:

Vektor 1:
Vektor 2:

Wenn du zeigen willst, dass 2 Strecken parallel sind, dann musst du die Strecken zu Vektoren machen und zeigen, dass beide Vektoren dieselbe Steigung haben. Du interpretierst die Vektoren also als Steigungsvektoren.

Zunächst aber musst du C₁ ausrechnen für x = 4:

damit gilt: =>

[CD] || [AB] => Viereck ABC₁D ist ein Trapez!

a)

mit a = - 0,25; b = 3; c = 1 und
x_S = - und
y_S = - gilt:

=> S (6 / 10)

Du sollst die Parabel zeichnen. Du kannst es natürlich mit einer Wertetabelle machen und ich werde dir unten auch zeigen, wie das mit dem Casio-GTR geht. Doch es geht auch schneller und das habe ich dir schon auf den ersten Seiten von Parabellissimo gezeigt.

Du zeichnest den Scheitel ein. Der Öffnungsfaktor a ist negativ, d.h. die Parabel ist nach unten geöffnet. Du gehst vom Scheitel aus um 1 LE nach rechts, dann gilt:

- 0,25 * 1² = - 0.25

d.h. du gehst um 0,25 LE nach unten. Jetzt gehst du um 2 LE nach rechts:

- 0,25 * 2² = -1 d.h. du gehst um 1 LE nach unten.

weiter e)

Um die Koordinaten von C ₀ zu berechnen, hast du jetzt
2 Möglichkeiten.

1. Möglichkeit

Du setzt die x-Koordinate von B₀: x = 7 in die Lösung von c)

C_n (x-4 / - 0,25x²+5x-15)

ein.

C₀ (7-4/-0,25•7²+5•7-15)

= C₀ (3 / 7,75)

2. Möglichkeit

Du setzt 7 - 4 = 3 in die Gleichung der Parabel p

y = - 0,25x² + 3x + 1

ein.

C₀ (3/- 0,25•3²+3•3+1)

= C₀ (3/ 7,75)

e)

Den Extremwert bestimmst Du wieder wie gehabt. Du berechnest den Scheitel der Parabel

y = 0,5x² - 7x + 40

Die Parabel ist nach oben geöffnet, d.h. es gibt ein Minimum.

Mit a = 0,5; b = -7; c = 40

und x_S = - sowie
y_S = - gilt:

=> A_min = 15,5 FE

für x = 7

Der x-Wert gehört zu B₀:

B₀(7 / - 0,25•7²+3•7+1)

= B₀(7 / 9,75)

weiter d)

Vektor 2:

A= 0,5 [(x-5)(-0,25x²+5x-16)-

(-0,25x²+3x)(x-9)] =

0,5 [- 0,25x³+5x²-16x+

1,25x²-25x+80-(-0,25x³

+2,25x²+3x²-27x)] =

0,5 [- 0,25x³+6,25x²-41x+80

+0,25x³-5,25x²+27x]=

0,5[x²-14x+80]

=> A(x)=0,5x²-7x+40 FE

weiter c)

und mit x_C = x_B - 4 gilt:

C_n (x_B- 4 / - 0,25 (x_B- 4)²+
3·(x_B- 4) + 1)

C_n (x_B- 4 / - 0,25(x_B²-8x_B+16)
+3x_B- 12 +1)

C_n (x_B- 4 / - 0,25x_B²+5x_B-15)

d)

Wie immer brauchst du 2 Vektoren, die das Dreieck aufspannen. Richtig herum in die Determinantenformel eingesetzt, solltest du auf die angegebene Lösung kommen.

Vektor 1:

weiter b)

B₁ (13 / - 0,25·13²+3·13+1)

= B₁ (13 / -2,25)

C₁ (13-4 / - 0,25·9²+3·9+1)

= C₁ (9 / 7,75)

B₂ (3,5/ -0,25·3,5²+3·3,5+1)

= B₂ (3,5 / 8,44)

C₂ (3,5-4 / - 0,25·(-0,5)²+
3·(- 0,5) +1)

= C₂ (- 0,5 / - 0,56)

Ich habe auf 2 Stellen gerundet!

c)

Weißt du noch was Abszisse heißt? Es heißt x-Wert.

Es gilt:

B_n (x_B / - 0,25x_B²+3·x_B+1)

C_n (x_C / - 0,25x_C²+3·x_C+1)

weiter a)

Jetzt wählst du mit F6 unten aus dem Menü TABL und die Wertetabelle wird angezeigt.

Mit den Pfeiltasten kannst du in der Wertetabelle scrollen, d.h. nach unten gehen.

b)

In solchen Aufgaben zur funktionalen Abhängigkeit musst mu meistens zwei Beispiele einzeichnen. Der Aufgabensteller verbindet damit die Hoffung, dass du durchschaust, wovon alles abhängt. Verwende hier den Schieberegler. Damit veränderst du die x-Koordinate des Punktes B. In dieser Aufgabe hängt alles von x_B ab.

Für die Zeichnung must du erst die Koordinaten von B₁, C₁, B₂ und C₂ berechnen.

weiter a)

Jetzt gehst du vom Scheitel aus um 3 LE nach rechts und rechnest im Kopf:

- 0,25 * 3² = - 2,25 usw.

Da die Parabel symmetrisch ist, hast du auch die entsprechenden Punkte links vom Scheitel.

Wie erzeugst du eine Wertetabelle mit dem Casio-GTR?

Du wählst das Menü TABLE und gibst dort den Parabelterm ein.

Mit F5 wählst du aus dem Menü unten RANG (engl. range = Bereich). Dort kannst du den Start- und End-Wert für x eingeben. Als Startwert nimmst Du - 2 und als Endwert 14. Der "Pitch" ist die Schrittweite. Am Bequemsten ist, du wählst die Schrittweite 1. Du bestätigst deine Eingabe immer mit der EXE-Taste.