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Algebra mit Spaß lernen
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Parabellissima 11
Quadratische Gleichungen Übungsaufgaben |
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Heute möchte ich mal sehen was du auf der letzten Seite gelernt hast. Grüß Gott und auf geht's. Du versuchst die Aufgaben erst selber, dann kannst du dir meine Lösungen einblenden. Aber das kennst du ja alles schon.
Aufgabe 1:
Untenstehende Figur zeigt zwei Flächen. Alle Maße sind in Zentimeter angegeben.
a) Aus welchem Intervall kann man u wählen?
b) Berechne u so, dass die innere Fläche einen Flächeninhalt von 45 cm² hat.
c) Überprüfe durch Rechnung, ob für diese Figur ein Flächeninhalt von 91 cm² möglich ist.
d) Für welche Belegungen von u beträgt der Flächeninhalt der inneren Figur genau
47,5 % des Flächeninhalts des äußeren Rechtecks ? |
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| Nr. 1 |
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a)
Probiere es mit dem Schieberegler aus.
u  [0; 5]
Wie löst du die Aufgabe, wenn du nicht so ein schönes Applet zur Verfügung hast? Du machst es genauso mit Ausprobieren. Du probierst verschiedene u aus und schaust ob die innere Figur noch reinpasst.
b)
Du hast dich hoffentlich mit dem Schieberegler davon überzeugt, dass der Flächeninhalt der roten Fläche von der Wahl von u abhängt. Du musst demnach zunächst den Flächeninhalt in Abhängigkeit von u berechnen um dann 45 cm² einzusetzen und die entstandene quadratische Gleichung lösen.
Um die Fläche zu berechnen, musst du sie geeignet zerlegen. Wie du links siehst kannst Du sie entweder vertikal oder horizontal in zwei Teilrechtecke zerlegen. |
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| Nr. 2 |
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weiter b)
bei vertikaler Zerlegung:
A1 = 2u • (u + 1,5) = (2u² + 3u) cm²
A2 = 2 • 1,5 = 3 cm²
A = A1 + A2 = (2u² + 3u + 3) cm²
bei horizontaler Zerlegung:
A1 = 2u • u = (2u²) cm²
A2 = (2u + 2) • 1,5 = (3u + 3) cm ²
A = A1 + A2 = (2u² + 3u + 3) cm²
Der Flächeninhalt A soll jetzt 45 cm² haben. Damit gilt:
45 = 2u² + 3u + 3 | - 45
0 = 2u² + 3u - 42 |
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| Nr. 3 |
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weiter b)
0 = 2u² + 3u - 42
mit 
und a = 2; b = 3; c = - 42 gilt:
(u1 = - 5,39) und u 2 = 3,89
Da es negative Längen nicht gibt, scheidet die 1. Lösung aus. Du musst sie einklammern.
Kontrolle mit dem Casio-GTR:
GRAPH-F6-F5-F1 oder EQUA-F2-F1-F1
Für u = 3,89 cm (gerundet) beträgt der Flächeninhalt 45 cm ². |
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| Nr. 4 |
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c)
91 = 2u² + 3u + 3 | - 91
0 = 2u² + 3u - 88
mit
und a = 2; b = 3; c = - 88 gilt:
(u1 = - 7,43 und u2 = 5,93)
Kontrolle mit dem Casio-GTR:
GRAPH- F6-F5-F1 oder EQUA-F2-F1-F1
Ein Flächeninhalt von 91 cm² ist nicht möglich, da u2 = 5,93 nicht im Intervall für u liegt. |
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| Nr. 5 |
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d)
Flächeninhalt des äußeren Rechtecks:
A = 10 • 12 = 120 cm²
Mit dem Dreisatz gilt:
120 cm² <=> 100 %
1,20 cm² <=> 1 %
1,20 • 47,5 <=> 47,5 %
57 cm² <=> 47,5 %
eingesetzt:
57 = 2u² + 3u + 3 | - 57
0 = 2u² + 3u - 54 |
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| Nr. 6 |
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weiter d)
0 = 2u² + 3u - 54
mit
und a = 2; b = 3; c = - 54 gilt:
(u1 = - 6) und u2 = 4,5
Kontrolle mit dem Casio-GTR:
GRAPH-F6-F5-F1 oder EQUA-F2-F1-F1
Für die Belegung u = 4,5 beträgt Flächeninhalt der inneren Figur genau 47,5 % des Flächeninhalts des äußeren Rechtecks. |
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Aufgabe 2:
Ein Rundbogenfenster (siehe Arbeitsblatt unten) hat einen Flächeninhalt von 2,5 m².
a) Zeige, dass folgender Zusammenhang gilt: 
Anmerkung: Da diese Funktion z(u) im Applet benutzt wurde und 0,39 ein gerundeter Wert ist, wird für den Flächeninhalt des Fensters bei größeren Werten von u ein Flächeninhalt von 2,51 m² angezeigt. Das ist aber auch ein Beweis, dass der Flächeninhalt vom Applet tatsächlich berechnet wird.
b) Berechne u so, dass der untere Teil des Fensters ein Quadrat ergibt.
Hinweis: Mit dem Schieberegler kannst du die Lösung finden, die du dann nur noch berechnen musst.
c) Wie breit wird das Fenster, wenn gilt: z = 1,08 m?
Hinweis: Auch hier kannst du zunächst die Lösung mit dem Schieberegler bestimmen.
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| Nr. 1 |
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a)
Was tun, wenn du keinen Plan hast? Du musst darauf vertrauen und du kannst und darfst darauf vertrauen, dass der Aufgabensteller 'ne Menge Tipps für dich in die Aufgabe gepackt hat. Auch wenn es viele glauben, Lehrer sind nicht hinterfotzig.
OK, wo ist hier der Tipp? Der Tipp ist die 2,5 in  . Der Flächeninhalt aller Rundbogenfenster ist 2,50 m² (abgesehen von Rundungsproblemen). Also steckt in dieser Funktionsgleichung die Maßzahl für den Flächeninhalt.
Wie ist sie da hineingekommen? Schlicht und einfach! Du berechnest den Flächeninhalt des Fensters in Abhängigkeit von u und z. Der Aufgabensteller hatte jetzt hier aber ein Problem, er hatte nämlich eine Aufgabe zur "Funktionalen Abhängigkeit" mit 2 Variablen.
Die bayerische Staatsregierung in ihrer unendlichen Weisheit erlaubt aber nur eine Variable. Was macht der Aufgabensteller? Er legt den Fensterinhalt fest. Dann hängt entweder u von z ab oder z von u.
Das verwirrt dich jetzt? Na gut, spielen wir es durch. Spielen wir ein wenig. Wir haben alle Zeit der Welt. Zum Lernen brauchst du Zeit. |
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| Nr. 5 |
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c)
z = 1,08
Das muss für dich doch Pipifax sein. Einfach in die Gleichung von a) einsetzen und lösen.
 | • u
1,08u = 2,5 - 0,39 u² | - 1,08u
- 0,39u² - 1,08u + 2,5 = 0
mit 
und a = - 0,39; b = - 1,08; c = 2,5 gilt:
(u1 = - 4,27) und u2 = 1,5
Das Fenster wird 1,50 m breit. |
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| Nr. 4 |
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Ich habe genau gesehen, wie Du die Augen verdreht hast. Wenn Du mit mir lernen willst, musst Du akzeptieren, dass ich mathemäßig ein Freak bin. Machen wir weiter.
b)
Na, das ist jetzt kein Kunststück! Oderrrrr! Wenn das Rechteck ein Quadrat ist, dann muss gelten:
u = z
Probiere es mit dem Schieberegler aus!
Mit gilt:
 | • u
u² = 2,5 - 0,39 u² | + 0,39 u²
1,39 u² = 2,5 | : 1,39
u² = 1,79... |  [erst am Schluss runden]
(u1 = - 1,34) und u2 = 1,34 |
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| Nr. 3 |
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weiter a)
AFenster = (u • z + 0,39u²) m²
Also AFenster = 2,50 m²; betrachten wir einmal die reine Maßzahlengleichung.
2,50 = u • z + 0,39u²
Diese Gleichung musst du jetzt nur noch nach z auflösen.
2,50 = u • z + 0,39u² | - 0,39u²
2,50 - 0,39u² = u • z | : u
Man hätte die Maßzahlengleichung oben natürlich auch nach u auflösen können.
2,50 = u • z + 0,39u² | - 2,5
0,39u² + u • z - 2,5 = 0
mit und a=0,39; b=z; c=-2,5
u1/2 =  |
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| Nr. 2 |
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weiter a)
Schau dir das Fenster links an. Es ist bemaßt. Es könnte ein Plan für einen Kunden sein. Vielleicht will der Kunde für verschiedene Fensterbreiten und Fensterhöhen die Fensterflächen und damit den vermutlichen Preis wissen. Das Fenster besteht aus einem Rechteck und einem Halbkreis. Berechnen wir doch einfach mal die Fensterfläche in Abhängigkeit von u und z. Die bayerische Staatsregierung vergessen wir.
ARechteck = (u • z) m²
AHalbkreis = [  ] m²
AFenster = ARechteck + AHalbkreis = [u•z+] m²
AFenster = (u • z +  ) m²
AFenster = (u • z + 0,39u²) m²
Hier ist der Flächeninhalt des Fensters in Abhängigkeit von der Fensterbreite u und der Rechteckhöhe z dargestellt. In dieser Gleichung gibt es 3 Variable. Nach einigen Spielereien fragt der Kunde: Wie könnte ein Fenster aussehen, wenn der Flächeninhalt 2,50 m² wäre? |
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Aufgabe 3:
Ein Quadrat mit 12 cm Seitenlänge ist gegeben. Verkürzt man eine Seite um x cm und verlängert die andere um 1,5x cm, so erhält man Rechtecke. Alle Zahlen im Arbeitsblatt unten bedeuten Zentimeter.
a) Fertige eine Zeichnung an. Welche Werte für x sind möglich?
b) Berechne den Flächeninhalt A(x) der Rechtecke in Abhängigkeit von x.
[Ergebnis: A(x) = (- 1,5x² + 6x + 144) cm²]
Falls Du hier nicht zurecht kommst, dann benutze das Ergebnis für die Teilaufgaben c) und d).
c) Welchen Wert musst Du für x einsetzen, um einen Flächeninhalt von 132 cm² zu erhalten?
d) Bestimme das flächengrößte Rechteck? Welchen Umfang besitzt es? |
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| Nr. 1 |
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a)
Ich schlage vor, du spielst links im Arbeitsblatt ein wenig mit dem Schieberegler. Zuerst anklicken, dann ist er aktiviert und du kannst ihn verschieben.
Du erinnerst dich aber doch noch, dass du in einer Prüfung mit deiner eigenen Zeichnung zurechtkommen musst?
Bei Aufgaben, in denen gleichzeitig eine Strecke verkürzt und eine andere verlängert wird, gilt: Du kannst beliebig verlängern, aber nicht beliebig verkürzen.
=> x ]0; 12[
Ob man die Intervallklammern auch nach innen setzen darf, darüber streiten sich die Gelehrten. |
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| Nr. 5 |
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weiter d)
=> Amax = 150 cm² für x = 2
verlängerte Rechteckseite a:
a = 12 + 1,5 • 2 = 15 cm
verkürzte Rechteckseite b:
b = 12 - 2 = 10 cm
u = 2 (a + b) = 2 (15 + 10)
u = 50 cm |
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| Nr. 4 |
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d)
Extremwert mittels Scheitelberechnung:
y = - 1,5x² + 6x + 144
a= - 1,5; b= 6; c= 144
=> Amax = 150 cm² für x = 2 |
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| Nr. 3 |
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weiter c)
132 = -1,5x²+6x+144 | -132
0 = -1,5x² + 6x + 12
mit
und a = -1,5; b = 6; c = 12
gilt:
(x1 = - 1,46) und x2 = 5,46
Kontrolle mit dem Casio-GTR:
GRAPH-F6-F5-F1 oder
EQUA-F2-F1-F1
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| Nr. 2 |
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b)
verlängerte Rechteckseite a:
a = (12 + 1,5x) cm
verkürzte Rechteckseite b:
b = (12 - x) cm
Flächeninhalt A (x):
A (x) = (12 + 1,5x) • (12 - x)
= 144 - 12x + 18x - 1,5x²
= (-1,5x²+6x+144) cm²
c)
Versuche es mit dem Schieberegler ungefähr herauszufinden. |
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Aufgabe 4:
In einem chinesischen Mathematikbuch des 2. Jahrhunderts v. Chr. findet sich folgende Aufgabe. |
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Eine Stadt mit quadratischen Grundriss ist von einer Mauer umgeben, in der sich zwei Tore jeweils in der Mitte der Mauer genau gegenüberliegen. Genau im Norden des nördlichen Tores findet ihr einen Mast in 20 BU Entfernung. Geht man vom gegenüberliegenden Tor 14 BU nach Süden und dann 1775 BU nach Westen, so sieht man hinter der Stadtmauer gerade noch den Mast. Wie lang ist eine Seite der Mauer? |
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Was diese Aufgabe mit quadratischen Gleichungen zu tun hat? Du bist gut! Du wirst wahrscheinlich eine quadratische Gleichung lösen müssen. Und übrigens ich weiß nicht was BU für eine Maßeinheit ist. Muss man aber auch nicht wissen um die Aufgabe zu lösen. Du hast mal wieder keinen Plan? Das liegt an deinem schlechten Gedächtnis. Also gut, folge diesem Link und dann kommst du wieder zurück.
Na immer noch keinen Plan? Die Lösung gibt es hier, aber ich habe sie versteckt. Du kannst bei mir ja mal auf den Busch klopfen, vielleicht flattert die Lösung heraus. |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 19:32
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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Herzlichen Glückwunsch! Du hast die Rebhühner aus dem Busch getrieben.
Kannst du mit der Zeichnung umgehen? Es ist eine Vierstreckensatzfigur. Versuche es nur erst selber. Danach kannst du ja mal in der Stadtmauer nach der Lösung suchen.
Du kannst natülich auch die Ähnlichkeit von Dreiecken benutzen.
Wie du siehst geht die Schnitzeljagd weiter. |
Nach dem Vierstrecksatz gilt:
Jetzt über Kreuz multiplizieren:
20 • 1775 = (x + 37) • 0,5x
35500=0,5x²+18,5x |-35500
0 = 0,5x²+18,5x -35500
EQUA F2; F1; a=0,5; b=18,5;
c= -35500; F1 (SOLV)
x1 = 248,6 und (x2 = - 285,5)
Eine Seite der Stadtmauer ist 248,6 BU lang. |
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