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Algebra mit Spaß lernen
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Parabellissima 12
Systeme quadratischer Gleichungen |
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Auf zum Endspurt! Ein herzliches Grüß Gott! Heute beginnen wir mit dem letzten Thema bei Parabellissma: Systeme quadratischer Gleichungen. Zumindest für die Wahlfachgruppen II und III in der bayerischen Realschule ist es das letzte Thema zur Parabel.
Kannst du Geraden schneiden? Erinnerst du dich noch daran wie du den Schnittpunkt von zwei Geraden ausgerechnet hast? Du hast die beiden Geradenterme gleichgesetzt und die so entstandene Gleichung gelöst. Damit hattest du den x-Wert des Schnittpunktes. Dämmert es dir? So helmartig den Nacken hinauf, über den Hinterkopf bis zur Vorderstirn? Diesen x-Wert hast du dann in eine der Geradengleichungen eingesetzt und damit den y-Wert des Schnittpunktes berechnet.
Ich sehe an deinen glasigen Augen, dass du nur helmartige Kopfschmerzen aber kaum eine Erinnerung hast. Ich erinnere dich mit einem Beispiel. Warum? Wir wollen danach Geraden mit Parabeln schneiden. Dazu brauchst du deine Erinnerung.
Beispiel:
Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden g1: y = - 0,5 x + 3,5 und
g2: y = 0,5 x + 0,5. |
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| Nr. 1 |
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Was habe ich dir links oben erzählt? Wenn du die zwei Geraden schneidest, musst du durch Gleichsetzen folgendes lineares Gleichungssystem lösen:
y = -0,5x + 3,5
y = 0,5x + 0,5
-0,5x+3,5 = 0,5x+0,5 |-3,5
-0,5x = 0,5x - 3 |-0,5x
- x = - 3 | : (-1)
x = 3
Das ist der x-Wert des Schnittpunktes S. Ihn setzt du in eine der beiden Geradengleichungen ein.
y = 0,5x + 0,5 | x=3 eingesetzt
y = 0,5 • 3 + 0,5 = 2
=> S (3 / 2)
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| Nr. 5 |
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Bestimme die Lösung folgender linearer Gleichungssysteme mithilfe eines geeigneten rechnerischen Verfahrens. Kontrolliere deine Lösung mit dem Applet links oder mit deinem Casio-GTR.
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| a) |
y = 3x + 2
x = y + 6 |
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| b) |
2y = -x + 6
-2y= 4x - 18 |
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| c) |
11(x + 3) - 6y = 3y + 33
6y- 9(2x + 3) = 60 - x |
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| d) |
y = 3x + 2
11x - 6 = 3y |
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| e) |
4y - 8x - 24 = 0
17x + 9 - 5y =0 |
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| f) |
y = - x + 4
14y = 28 - 14x |
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| g) |
x = 3,5y + 8
- 3x + 8,5y = - 14 |
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| Nr. 4 |
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Mit F5 (ISCT = intersect = schneiden) berechnest du den Schnittpunkt.
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Damit kannst du die Schnittpunkte von irgendwelchen Funktionsgraphen berechnen z.B. zwischen Gerade und Parabel oder Parabel mit Parabel oder auch ganz exotische Funktionsgraphen, deren Schnittpunkte du nie ausrechnen könntest.
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| Nr. 3 |
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y = 0,5x+0,5 | y=2 eingesetzt
2 = 0,5x + 0,5 |-0,5
1,5 = 0,5x | : 0,5
x = 3 usw.
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Du kannst selbstverständlich auch deinen Casio-GTR zur Lösung einsetzen. Du gibst beide Geradengleichungen im GRAPH-Menü ein.
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Mit F6 zeichnest u die beiden Geraden und mit F5 gehst Du ins G-Solv-Display. Das kennst du ja schon. Es hilft Dir auch hier.
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| Nr. 2 |
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Du kannst natürlich auch die anderen Verfahren verwenden, wenn sie sich anbieten. Kennst du sie noch? Das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren?
Hier springt selbst einem Maulwurf die Gelegenheit ins Auge, das Additionsverfahren zu verwenden. Du addierst linke Seite zu linker Seite und rechte Seite zu rechter Seite. Die Gleichheit bleibt erhalten. Das lohnt sich aber nur, wenn dadurch eine Variable rausfliegt. Wie hier.
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| y = -0,5x + 3,5 |
} + |
| y = 0,5x + 0,5 |
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2 y = 4 | : 2
y = 2
Diesen y-Wert des Schnittpunktes setzt du in eine der Geradengleichungen ein.
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So ich denke, ich habe deine Erinnerung zur Lösung von linearen Gleichungssystemen ausreichend reaktiviert. Und weißt du, was sich bei quadratischen Gleichungssystemen ändert? Nichts, gar nichts, ratzeputz nichts! Ich werde es dir beweisen.
Das Arbeitsblatt unten ist ein wenig groß geraten. Du musst es, wie früher auch schon, mit der Maus am roten Balken packen und etwas zur Seite schieben, damit du dir im Rand meine Plaudereien einblenden kannst. Mit den Schiebereglern kannst du eine Menge anstellen. Aber ich bitte dich sie noch in Ruhe zu lassen, da sich meine Plauderei auf die Anfangsstellung bezieht. Zur Not musst du die Seite halt aktualisieren (rechts oben die blauen Pfeile).
Aufgabe 1:
Berechne die Schnittpunkte der Geraden g: y = -0,5x + 2,5 und der Parabel
p: y = - 0,5x² - 4,5x - 3,5. |
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| Nr. 1 |
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Wir schneiden die grüne Gerade mit der blauen Parabel. Die violette Parabel übersiehst du zunächst geflissentlich. Noch interessiert sie nicht.
Also schiebe den Schiebregler t! Wie viele Schnittpunkte hat eine Gerade mit einer Parabel?
Eine Gerade hat mit einer Parabel entweder zwei Schnittpunkte (Sekante), oder einen Schnittpunkt (Tangente), oder gar keinen Schnittpunkt (Passante). Die Bezeichnungen sind dieselben wie beim Kreis.
Für t= 4,5 ist unsere Gerade eine Tangente an die Parabel. Solche Tangenten an Parabeln werden uns noch beschäftigen. Das quadratische Gleichungssystem hat in diesem Fall nur eine Lösung.
Beschäftigen wir uns aber mit dem Gleichungssystem aus der Aufgabe.
y = -0,5x + 2,5
y = - 0,5x² - 4,5x - 3,5
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| Nr. 6 |
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Zum wiederholten Male Schwierigkeiten mit dem Casio-GTR:
Wenn du die Nullstellen der Funktion y = x² - 4x + 4 bestimmst, dann meldet der Casio "Not Found". Das ist schlecht vom Casio. Dasselbe meldet er, wenn du versuchst den Schnittpunkt von Gerade und Parabel zu bestimmen. Der Casio hat etwas gegen Tangenten. Bei quadratischen Gleichungen mit einer Lösung funktioniert nur das EQUA-Menü!
So und jetzt sollst du, darfst du mit dem Applet etwas spielen.
Entwerfe dir selbst ein paar eigene Aufgaben und löse sie. |
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| Nr. 5 |
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x² - 4x + 4 = 0
Diskriminante D = b² - 4ac:
D = (-4)² - 4•1•4 = 0
Weil D = 0 hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung => die Gerade g ist eine Tangente an die Parabel.
x² - 4x + 4 = 0
Diskriminante D = b² - 4ac:
D = (-4)² - 4•1•4 = 0
Berührpunkt:
=> B(2 / 2) |
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Nr. 4
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y=-0,5x+2,5 | x=-6 eingesetzt
y1 = -0,5 • (-6) + 2,5 = 5,5
y=-0,5x+2,5 | x=-2 eingesetzt
y2 = -0,5 • (-2) + 2,5 = 3,5
=> A(- 6/ 5,5) und B(- 2/ 3,5)
Jetzt komme ich zum versprochenen Tangentenproblem. In der Wahlfachgruppe II/III der bayerischen Realschule könnte es vorkommen, dass du nachweisen sollst, dass eine Gerade eine Tangente an die Parabel ist.
Aufgabe 2:
Zeige, dass die Gerade g mit y=2x - 2 Tangente an die Parabel p mit y=x² - 2x + 2 ist und bestimme den Berührpunkt:.
x²-2x+2 = 2x-2 | - 2x + 2
x² - 4x + 4 = 0 |
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| Nr. 3 |
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Also schreibe dir die Lösungsformel aus der Formelsammlung heraus. Du kannst sie auswendig? Für die Hausaufgaben gut, spart Zeit. In der Abschlussprüfung wäre es auch gut, wenn dir das Adrenalin in deinen Adern keinen Strich durch die Rechnung macht. Wie schnell hast du etwas verwechselt. Also schreib' dir die Formel raus! Ist nur ein Rat!
0 = - 0,5x² - 4x - 6 mit
a= -0,5; b= -4; c= -6 gilt:
x1 = - 6 und x2 = - 2 |
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| Nr. 2 |
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Das Applet links sagt, die Schnittpunkte sind A(-6 / 5,5) und B(- 2 / 3,5). Lass sie uns berechnen.
Es läuft, wie gehabt, mit Gleichsetzen:
-0,5x+2,5=-0,5x²-4,5x-3,5 |-2,5
-0,5x=-0,5x²-4,5x-6 | +0,5x
0 = - 0,5x² - 4x - 6
Es ist wie bei den Geraden, wenn du die quadratische Gleichung
0 = - 0,5x² - 4x - 6
löst, bekommst du die x-Werte der Schnittpunkte. Und was machst du damit? Richtig, du setzt sie in die Geradengleichung ein und berechnest die zugehörigen y-Werte. Wenn du unbedingt Zeit verlieren willst, kannst Du die x-Werte auch in die Parabelgleichung einsetzen. |
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Aufgabe 3:
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme.
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| a) |
y = 2x + 4 |
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b) |
y = - x² + 4x + 2,5 |
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y = x² - 2x + 3 |
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y= - 0,5 x + 2,5 |
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| c) |
y = 2x - 1 |
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d) |
y = x² + 6x + 8,5 |
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y = 2x² - 4x + 3 |
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y = - 1,5x - 4 |
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Du solltest diese Aufgaben sowohl schriftlich als auch mit allen 3 Methoden, die der Casio-GTR bietet, lösen. Diese Methoden wären Nullstellenbestimmung und Schnittpunktsbestimmung im GRAPH-Menü und die Bestimmung der Lösung im EQUA-Menü. Dasselbe gilt für die nachfolgende Aufgabe. Auf der nächsten Seite kommen schwerere Aufgaben und ich habe keine Lust immer wieder von vorne anzufangen. Ein wenig Mühe kann ich von dir auch verlangen. Deine Lösungen kannst du mit dem Arbeitsblatt oben kontrollieren.
Aufgabe 4:
Überprüfe, ob die Gerade g, jeweils Tangente an die Parabel p ist. Berechne gegebenenfalls die Koordinaten des Berührpunktes oder der Schnittpunkte.
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| a) |
g: y = -4x + 2 |
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b) |
P: y = - x² + 8x - 13 |
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p: y = - x² + 4x + 2 |
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g: y= - 2x + 12 |
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| c) |
g: y = -6x - 2 |
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d) |
p: y = - (x - 4)² |
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p: y = x² - 2x + 2 |
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g: y = 6x - 144 |
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So und jetzt schneiden wir Parabel mit Parabel.
Aufgabe 5:
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabeln p1und p2.
p1: y = x² - 4,5x - 1,5 und p2: y = - 0,5x² + 1,5x + 6 |
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| Nr. 1 |
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Es läuft genauso wie im Arbeitsblatt obenoben.
Gleichsetzen:
x²-4,5x-1,5=-0,5x²+1,5x+6 | - 6
x²-4,5x-7,5=-0,5x²+1,5x | - 1,5x
x²-6x- 7,5= - 0,5x² | + 0,5x²
1,5x² - 6x - 7,5 = 0
a = 1,5; b = -6; c = - 7,5
x1 = -1 und x2 = 5 |
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| Nr. 2 |
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y=x²-4,5x-1,5 | x1=-1 einges.
y= (-1)² - 4,5•(-1) - 1,5 = 4
y=x²-4,5x-1,5 | x2= 5 einges.
y= 5² - 4,5•5 - 1,5 = 1
=> A(5 / 1) und B(- 1/ 4)
Alles was ich beim Schnitt von Parabel und Gerade gesagt habe gilt hier auch. Auch die Lösungsmöglichkeiten mit dem Casio-GTR sind dieselben.
Aufgabe 6:
Stelle zunächst fest, ob sich die beiden Parabeln berühren. Berechne dann gegebenenfalls die Koordinaten des Berührpunktes oder der Schnittpunkte.
p1: y = x² - 4x + 2
p2: y = -x² - 4x + 2
Kontrolliere deine Lösung mit dem Arbeitsblatt links. |
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So das wäre es für heute. Auf der nächsten Seite wird es anspruchsvoller. Du wirst das Erlernte anwenden. |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 19:32
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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