a)

Wie kommst du zu dem Dreieck A₁B₁C₁, wenn du in der Prüfung sitzt und du kein Applet zur Verfügung hast? Alle diese Aufgaben sind vom Typ "Funktionale Abhängigkeit". Ein Punkt gibt den Ton an. Von seiner Lage hängt alles ab. Hier ist es der Punkt A. Alles hängt vom x-Wert des Punktes A ab. Für den x-Wert des Punktes A soll gelten x = 0. Du setzt diesen Wert ein:

A₁ ( 0 / 0,25•0²+0,5•0-0,75) = A₁ ( 0 / -0,75)

Um C₁ zu finden musst Du erst einmal die Schreibweise von
C_n (x + 1,5 / y_c) verstehen.

=> C₁ (0 + 1,5 / - 1,5²+6•1,5-3) = C₁ (1,5 / 3,75)

Wie es dann weitergeht, kannst du der Zeichnung links entnehmen.

d)

Diese Teilaufgabe sollte mittlerweile reine Routine für dich sein. Du bestimmst den Extremwert mittels Scheitelbestimmung der Parabel:

y = -1,875x² + 3,75x + 6,75

Die Parabel ist nach unten geöffnet, deswegen ist der y-Wert des Scheitels der größtmögliche y-Wert.

a = - 1,875; b = 3,75; c = 6,75

weiter c)

2. Lösungsweg

Manchmal hilft bei der Flächenberechnung im Koordinatensystem auch die normale Flächenformel, hier . Die Grundseite ist die Basis mit der Länge g = 3 LE und sie ist parallel zur x-Achse. Für h gilt:

weiter c)

1. Vektor =>

Betätige den Schieberegler und beobachte die Strecke [AB], dann verstehst Du warum gilt.

2. Vektor =>

Doch was setzt du für C ein? Du brauchst die Lösung von Teilaufgabe b) und nicht den Term der Parabel p₂. Sonst haben deine "x" zwei verschiedene Bedeutungen. Einmal würde "x" den x-Wert des Punktes A bedeuten und einmal wäre es der x-Wert von C. Das "x" in der Lösung von Teilaufgabe b) stellt den x-Wert des Punktes A dar. Diese Koordinaten sind also die richtigen.

b)

=> Du setzt für x_C den Term x + 1,5 ein.

- (x + 1,5)² + 6•(x + 1,5) - 3 = - (x² + 3x + 2,25) + 6x + 9 - 3

= - x² - 3x - 2,25 + 6x + 6 = - x² + 3x + 3,75

c)

Jetzt sind wir bei der schwierigsten Teilaufgabe. Bisher hast du Flächen im Koordinatensystem mit der Determinantenformel bestimmt. Die meisten Schüler kommen auch hier auf diese Idee. Sie führt auch zum Erfolg, aber der Weg ist schwierig und es bedarf einer sehr sorgfältigen Arbeitsweise um nicht den Überblick zu verlieren. Ein falsches Vorzeichen und du stehst in der Prärie ohne einen Tropfen Wasser.

1. Vektor =>

a)

Muss ich erwähnen, dass es sich hier um verschobene Normalparabeln handelt, die du mit deiner Parabelschablone zeichnen kannst? Du brauchst natürlich die Scheitelkoordinaten.

p₁: a = 1, b = -2; c = 1

weiter d)

weiter d)

EQUA F2; F1; a=2; b=-10; c=8; F1

x₁ = 1 => y₁ = -1²+6•1-7= -2 => B₁ (1 / -2)

x₂ = 4 => y₂ = -4²+6•4-7= 1 => B₂ (4 / 1)

Jetzt musst du rückwärts abbilden!

d)

p₁': y = (x - 2)² - 3 (Scheitelform!)

(x - 2)² - 3 = - x² + 6x - 7

x² - 4x + 4 - 3 = - x² + 6x - 7 | + x² - 6x + 7

2x² - 10x + 8 = 0

a = 2; b = - 10; c = 8

weiter c)

Die Parallelverschiebung ist längen- und winkeltreu, d.h. die Bildparabel ist wieder eine verschobene Normalparabel. Und das heißt wiederum, du kannst die Bildparabel ebenfalls mit deiner Parabelschablone zeichnen, wenn du den verschobenen Scheitel kennst.

Hier sind die 2 möglichen Schreibweisen:

p₁': y = (x - 2)² - 3 (Scheitelform!)

weiter c)

Du wählst einen Punkt A auf der Parabel p₁ und zeichnest den Vektor. Die Spitze B des Vektors liegt leider nicht auf der Parabel p₂, oder du kannst es zumindest nicht mit Sicherheit sagen. Du machst einen
2. Versuch und einen 3. Versuch. Spätestens jetzt musst du dir die Schlüsselfrage stellen: Was mache hier eigentlich, mathemäßig gesehen? Ich bilde Punkte der Parabel p₁ durch Parallelverschiebung ab.

Hinter solchen Aufgaben steckt immer eine Abbildung. In den Wahlfachgruppen II/III kann es sich nur um die Parallelverschiebung einer Parabel bzw. Geraden oder um die zentrische Streckung einer Geraden handeln.

Fassen wir zusammen. Du machst in deiner Zeichnung oder auch nur gedanklich 3 Probierversuche, dann hast du die Lösungsidee: Warum bilde ich die Parabel p₁ nicht insgesamt ab? Dann sind die gesuchten Punkte A doch auch dabei und die Schnittpunkte der verschobenen Parabel mit der Parabel p₂ sind die gesuchten Punkte B.

Wenn du dann diese Lösungspunkte B mit dem Umkehrvektor rückwärts abbildest abbildest, bekommst du die zugehörigen Punkte A.

Ja, ich weiß, ich mache zu viele Worte. Du hast es längst verstanden. Aber nicht jeder ist so ein Klugscheißer (positiv gemeint) wie du. Und ich möchte, dass es jeder versteht. Auf los geht's los in der nächsten Einblendung.

c)

Wenn du den Schieberegler betätigst, wird dir die Lösungsidee offenbar. Die Parabel p₁wird mit dem Vektor verschoben. Die verschobene Parabel schneidet die Parabel p₂ in den gesuchten Punkten B₁ und B₂. Wenn du die Richtung des Verschiebungsvektors umkehrst, ist es kinderleicht A ₁ und A ₂ zu berechnen. Aber alles der Reihe nach. Wie kommt man auf so eine Idee, wenn man noch nie solch eine Aufgabe gelöst hat?

Diese Aufgabe hier gehört zu einem ganz bestimmten Aufgabentyp. Du kennst ähnliche Aufgaben, nämlich die Einbeschreibungsaufgaben. Du sollst zwischen 2 Parabeln oder einer Parabel und einer Geraden etwas hineinbasteln. Hier ist es ein Vektor. Du machst einen ersten Bastelversuch. Bei dieser Aufgabe könnte es dir sogar gelingen durch Probieren die Lösungen zu finden. Für die Punkte A und B, die Du gefunden hast, müsstest du einerseits zeigen, dass sie auf den entsprechenden Parabeln liegen und sich aus ihnen der Vektor errechnen lässt. Das funktioniert aber selten. Wenn du probierst, was machst du da eigentlich? Diese Frage ist die Schlüsselfrage, die du dir stellen musst.

b)

Schnittpunkte von Parabeln berechnest du durch Gleichsetzen der Parabelterme. Die Bedingung für einen Berührpunkt ist:

Diskriminante D = 0

x² - 2x + 1 = - x²+ 6x - 7 | + x² - 6x + 7

2x² - 8x + 8 = 0

a = 2; b = - 8; c = 0

D = b² - 4ac => D = (- 8)² - 4 • 2 • 8 = 0 => ein Berührpunkt