Parabellissima 17
Parabel-Aufgaben aus Abschlussprüfungen
an den Realschulen in Bayern

Auf ein Neues! Hallo du, ich lobe deinen Fleiß. Grüß dich Gott. Heute habe ich noch einmal zwei Parabelaufgaben aus der Abschlussprüfung 2005. Damit sind alle Parabelaufgaben aus den letzten beiden Jahren online ausführlich erklärt und analysiert. Mehr wird es für das Prüfungsjahr 2007 nicht geben. Im nächsten Jahr werden die Parabelaufgaben des Prüfungsjahres 2007 hier zu finden sein.

Rechts im Werkzeugkasten findest du mittlerweile 7 Werkzeuge. Für die Geometrie musst du noch ein paar wenige Werkzeuge dazu packen z.B. den Pythagoras, den Kosinussatz, die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck und den Vierstreckensatz bzw Ähnlichkeit von Dreiecken. Von diesen Werkzeugen musst du 3 Dinge wissen.

Du musst von ihrer Existenz wissen.
Du musst wissen, wo du sie in der Formelsammlung findest.
Wie bei allen Werkzeugen, musst du wissen wie und wozu man sie verwenden kann. Das lernst du wie bei der Feile, Säge oder dem Hammer nur durch Übung.

Mathematik II

Haupttermin 2005

Aufgabe B 1

B 1.0

Die Parabel p₀ hat die Gleichung

mit

. Sie wird durch Parallelverschiebung mit

auf die Parabel p abgebildet.

B 1.1

Zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Gleichung der Parabel p wie folgt darstellen lässt: p: .

Zeichnen Sie sodann die Parabel p im Bereich von in ein Koordinatensystem ein.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;

;

3 P

B 1.2

Punkte mit und Punkte D_n liegen auf der Parabel p und sind zusammen mit den Punkten und Eckpunkte von Drachenvierecken AB_nCD_n mit der gemeinsamen Symmetrieachse AC.

Zeichnen Sie die Drachenvierecke AB₁CD₁ für x = –1 und AB₂CD₂ für x = 1 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

2 P

B 1.3

Bestimmen Sie durch Rechnung den Wert für die Abszisse x des Punktes B₀, für den man kein Drachenviereck, sondern das gleichschenklige Dreieck AB₀CD₀ erhält. (Auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.)

2 P

B 1.4

Geben Sie die Koordinaten der Punkte D_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte B_n an

2 P

B 1.5

Unter den Drachenvierecken AB_nCD_n gibt es eine Raute AB₃CD₃.

Zeichnen Sie diese Raute in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

Berechnen Sie sodann die x-Koordinate des Punktes B₃ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

[Teilergebnis:

]

4 P

B 1.6

Berechnen Sie die Seitenlänge der Raute AB₃CD₃ sowie das Maß des Winkels CB₃A. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

3 P

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Nr. 1

B 1.1

Der Scheitel der Parabel p₀ ist S₀ (0 / 0):

Jetzt musst du die Parabelgleichung nur noch auf die allgemeine Form bringen, d.h. du musst das Binom auflösen.

y = 0,5 (x² - 6x + 9) - 2

y = 0,5x² - 3x + 4,5 - 2

y = 0,5x² - 3x + 2,5

Für die Zeichnung erzeugst du dir eine Wertetabelle mit dem Casio-GTR.

TABLE y = 0,5x² - 3x + 2,5; F5 (RANG); F6

Nr. 9

weiter B 1.6

1. Lösungsmöglichkeit für

Im Dreieck B₃CA kennst du die 3 Seitenlängen. Das ist der typische Fall für die Nützlichkeit des Kosinussatzes.

Doch was ist a, b, c in deiner Aufgabe?

So steht, denke ich, die Formel in deiner Formelsammlung. Vielleicht hast du noch eine ältere Formelsammlung in denen du 6 verschiedene Formen des Kosinussatzes findest. Letztlich hilfreicher als die eine Formel ist dies aber auch nicht. Außerdem sind diese älteren Formelsammlungen nicht mehr für die Abschlussprüfung zugelassen. Du musst dir selber Gedanken machen.

Einmal richtig nachgedacht
und er Kosinussatz wird ausgelacht.
Immer bequem, nie ein Problem.

a und b oben in der Formel sind die beiden Seiten, die den Winkel einschließen, den du berechnen sollst. Und die Seite c ist diejenige Seite, die dem Winkel gegenüber liegt, den du berechnen sollst. Wie immer auch die Seiten in deinem Dreieck heißen mögen.

Nr. 8

weiter B 1.6

1. Lösungsmöglichkeit

2. Lösungsmöglichkeit

Du kannst natürlich den Pythagoras im Dreieck B₃MA verwenden.

Auch für die Berechnung des Winkels b hast du grundsätzlich 2 Möglichkeiten und ein paar Umwege.

Nr. 7

weiter B 1.5

Doch warum ein Risiko eingehen? Bestimme die Lösungen mit dem EQUA-Menü deines Casio-GTR, nachdem du die Formvariablen/Koeffizienten/Beizahlen in die Lösungsformel für die quadratischen Gleichungen eingesetzt hast. Glaube mir, damit bist du der Forderung "Berechne" nachgekommen. Du bekommst deine Punkte auf das Einsetzen in die Lösungsformel und auf die Lösungen und nicht auf Zeilen dazwischen.

EQUA F2; F1 a = 0,5; b = -3; c = - 1,5 ; F1

x₁ = - 0,46

(bei meinem Schieberegler habe ich etwas mogeln müssen)

(x₂ = 6,46 nicht im Definitionsbereich x < 3)

B 1.6

Du brauchst die Koordinaten von B₃. Dazu setzt du die Lösung von B 1.5 ein.

0,5•(-0,46)² - 3•(-0,46) + 2,5 = 3,99
=> B₃ (- 0,46 / 3,99)

Hättest du mit dem ungerundeten Wert von B 1.5 weitergerechnet, wäre 4 gewesen. Wenn du es mit der angegebenen Lösung in deinem Lösungsbuch vergleichst, dann siehst du, dass auch die Aufgabensteller in München mit dem Runden Probleme haben.

Nr. 6

weiter B 1.5

Du berechnest den Mittelpunkt M der Diagonalen [AC]. Bei einer Raute ist M auch der Mittelpunkt von [BD], d.h. aber hier B und M haben dieselbe
y-Koordinate. Du musst demnach eine quadratische Gleichung lösen.

Suche in deiner Formelsammlung nach der Mittelpunktsformel.

=> 0,5x² - 3x + 2,5 = 4 | - 4

0,5x² - 3x - 1,5 = 0

a = 0,5; b = -3; c = - 1,5

Natürlich kannst du diesen Term in das RUN-Menü deines Casio-GTR eingeben und die Lösungen ausrechnen. Sicherheitshalber solltest du es dann aber in mehreren Schritten machen.

Nr. 5

B 1.5

Browse im Hirn nach dem Verzeichnis "Raute". Du könntest natürlich auch in deiner Formelsammlung nachschauen. Du musst hier eine der Eigenschaften der Raute benutzen.

alle Seiten sind gleich lang

(Könnte man vielleicht benutzen, doch du müsstest Vektoren aufstellen deren Koordinaten dreigliedrige quadratische Terme enthalten. Dieser Weg ist nur etwas für einen Matheartisten mit viel Zeit, lass die Finger davon. Wenn du Zeit und Lust hast, versuche es ruhig einmal. Du wirst sehen auf welche Schwierigkeiten du stößt.)
die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht

(gilt auch für Drachen, nutzt hier nichts)
die Diagonalen halbieren sich

( werden wir benutzen)

Hier ist mal wieder deine Phantasie gefragt. Falls diese nicht ausreicht, betätige den Schieberegler links. Wenn du es langsam genug machst, wirst du entdecken welche Lösungsidee ich bevorzuge. Selbstverständlich zeige ich dir auch die andere Lösungsmöglichkeit. Du solltest dir immer alle meine Lösungsmöglichkeiten anschauen/studieren, damit du ein Gespür dafür entwickelst, was rechnerisch und damit zeitlich aufwendig ist.

Nr. 4

weiter B 1.4

x_B = 2 => x_D = 4
x_B = 1 => x_D = 5
x_B = 0 => x_D = 6
x_B = -1 => x_D = 7
x_B = -2 => x_D = 8

Siehst du den Zusammenhang? Ich muss meine Sonnenbrille aufsetzen, so strahlt mir der Zusammenhang ins Gesicht.

x_B + x_D = 6 => x_D = 6 - x_B

=> D_n (6 - x_B / 0,5x_B² - 3x_B + 2,5)

Du willst wirklich wissen, warum gilt: x_D = 6 - x_B? Das ist hier aber gar nicht gefragt. Na gut, ich will versuchen es dir etwas abstrakter, mathematischer zu erklären. Dazu musst du ein wenig auf der x-Achse spazieren. Du bewaffnest dich mit Block und Stift und stellst dich auf den Ursprung. Du schaust und spazierst in Richtung der x-Achse. In einiger Entfernung siehst du die Spiegelachse. Du läufst los und kommst zu B₂. Du notierst, dass du 1 LE gelaufen bist. du weißt, du musst noch 2 LE bis zur Spiegelachse laufen. Dort angekommen fängst du an zu überlegen.

Ich bin jetzt 3 LE gelaufen, wie weit ist noch bis D₂? D₂ ist von der Spiegelachse genauso weit entfernt wie B₂, also 2 LE. Könnte man das nicht auch berechnen? Klar! Ich ziehe von den 3 LE einfach die Entfernung bis zu B₂ ab: 3 LE - 1 LE = 2 LE.

Weißt du was das bedeutet? Du musst von der Spiegelachse aus immer (3 - x_B) LE marschieren bis du bei der x-Koordinate x_D bist. Die gesamte Marschtrecke errechnet sich demnach so:

x_D = 3 + (3 - x_B) = 6 - x_B

Nr. 3

y_B = y_A => 0,5x² - 3x + 2,5 = 10 | - 10

0,5x² - 3x - 7,5 = 0

a = 0,5; b = - 3; c = - 7,5

Weil ich Angst habe, mich beim Eintippen zu vertippen, löse ich die quadratische Gleichung im EQUA-Menü des Casio-GTR. Kein Mensch wird es merken.

EQUA F2; F1 a = 0,5; b = - 3; c = - 7,5; F1

x₁ = - 1,90 und (x₂ = 7,90 nicht im Definitionsbereich

x < 3)

B 1.4

Wie hast du die Punkte D_n gezeichnet? Du hast die Punkte B_n an AC achsengespiegelt. Die Gerade AC ist parallel zur y-Achse. Das bedeutet, die Punkte B_n und D_n haben dieselbe y-Koordinate. Es gilt:

y_B = y_D

Aber die x-Koordinaten. Wie ist das bei den x-Koordinaten? Seit 6 Jahren versuche ich dir beizubringen, dass du Zahlenbeispiele machen sollst, wenn es dir an Durchblick mangelt. Zahlenbeispiele bringen den Durchblick!

Nr. 2

Da eine Wertetabelle nicht gefordert wird, brauchst du auch keine auf dein Blatt schreiben. Du kannst die Werte aus dem GTR sofort in dein Koordinatensystem übernehmen.

Die Parabel lässt sich aber auch ohne Taschenrechner zeichnen. Wie? Studiere die letzte Seite. Ich bin doch keine tibetische Gebetsmühle!

B 1.2

Jetzt gilt es die beiden Beispiele zu zeichnen, die dir zu Lösungsideen verhelfen sollen. Dazu markierst du auf der Parabel die Punkte mit den x-Werten x = - 1 und x = 1. Damit hast du die Punkte B₁ und B₂. Der Drachen ist achsensymmetrisch. Du spiegelst die Punkte B₁ und B₁ an der Symmetriachse [AC] und hast die fehlenden Punkte D₁ und D₂.

B 1.3

Falls du wirklich keine Idee hast, betätige links im Applet den Schieberegler und schau dir an, wie sich der Drachen verändert. In der Prüfung hast du natürlich keinen Schieberegler, aber du hast deine beiden Beispiele und du hast deine Phantasie. Lasse im Geiste den Punkt B auf der Parabel hin und her marschieren. Deine Phantasie funktioniert mindestens genauso gut wie mein Schieberegler.

Der Drachen wird zum Dreieck, wenn der Punkt B auf der Höhe vom Punkt A ist. Was heißt das mathematisch formuliert? Was haben dann A und B gemeinsam? Richtig! Ihre y-Koordinaten sind gleich. Es gilt:

y_B = y_A => 0,5x² - 3x + 2,5 = 10 | - 10

Nr. 10

weiter B 1.6

Also gilt:

2. Lösungsmöglichkeit

Du rechnest im rechtwinkligen Dreieck B₃MA den Winkel aus. Wenn du von vorneherein diesen Weg wählst, dann reicht es = 6 LE und = 3,46 LE zu berechnen. Damit kennst du im rechtwinkligen Dreieck B₃MA die beiden Katheten. Es gilt:

Je nach Lösungsweg sind die Ergebnisse wegen der unterschiedlichen Rundungen minimal unterschiedlich.

Mathematik II

Nachtermin 2005

Aufgabe D 1

D 1.0

Die Parabel p hat eine Gleichung der Form

mit

und

. Die Parabel p verläuft durch die Punkte

und

. Die Gerade g hat die Gleichung

mit

D 1.1

Berechnen Sie für die Gleichung der Parabel p die Werte der Formvariablen a und c.

Erstellen Sie für die Parabel p eine Wertetabelle für in Schritten von und zeichnen Sie sodann die Parabel p und die Gerade g in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; ;

[Teilergebnisse: a = 0,25; c = 5,25]

4 P

D 1.2

Punkte A_n auf der Parabel p und Punkte B_n auf der Geraden g haben jeweils dieselbe Abszisse x. Sie bilden zusammen mit Punkten C_n und D_n Eckpunkte von Parallelogrammen A_nB_nC_nD_n und es gilt: und = 60°.

Zeichnen Sie die Parallelogramme A₁B₁C₁D₁ für x = –3 und A₂B₂C₂D₂ für x = 2 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.

Bestätigen Sie sodann durch Rechnung, dass für den Abstand d der beiden Seiten [A_nB_n] und [C_nD_n] der Parallelogramme A_nB_nC_nD_n auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet gilt: d = 3,46 LE.

3 P

D 1.3

Unter den Parallelogrammen A_nB_nC_nD_n gibt es das Parallelogramm A₃B₃C₃D₃ mit .

Zeichnen Sie das Parallelogramm A₃B₃C₃D₃ in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. Berechnen Sie sodann auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet die Koordinaten des Punktes B₃ und die Ordinate y₃ des Punktes C₃.

3 P

D 1.4

Bestimmen Sie den Flächeninhalt A der Parallelogramme A_nB_nC_nD_n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A_n.
Unter den Parallelogrammen A_nB_nC_nD_n besitzt das Parallelogramm A₀B₀C₀D₀ den kleinstmöglichen Flächeninhalt A_min. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für x und geben Sie A_min an.
(Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis:

]

4 P

D 1.5

Unter den Parallelogrammen A_nB_nC_nD_n gibt es zwei Rauten A₄B₄C₄D₄ und A₅B₅C₅D₅.
Ermitteln Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet die zugehörigen Werte für x.

2 P

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Nr. 1

D 1.1

Die beiden Formvariablen a und c bestimmst du, indem du die Punkte Q und R in die Parabelgleichung einsetzt:

y = ax² - 0,5x +c | Q (- 3/ 9) eingesetzt
y = ax² - 0,5x +c | R (4 / 7,25) eingesetzt

9 = a•(-3)² - 0,5•(- 3) + c
7,25= a•4² - 0,5•4 + c

9 = 9a + 1,5 +c | - 9a - 1,5
7,25 = 16a - 2 + c | -16a + 2

7,5 - 9a = c
9,25 - 16a = c

Gleichsetzen:

7,5 - 9a = 9,25 - 16a | + 16a - 7,5

7a = 1,75 | : 7

a = 0,25 | oben eingesetzt

c = 7,5 - 9•0,25

c = 5,25

Du erzeugst dir mit deinem Casio-GTR eine Wertetabelle.

TABLE y = 0,25x² - 0,5x + 5,25; F5 (RANG); F6

Keine Bilder von mir! Diesmal mach' ich dir die Schnürsenkel nicht zu!

Nr. 9

weiter D 1.4

Lösung mit normaler Flächenformel
A = g • h

mit g =

und mit h = d = 3,46 gilt:

A (x) = (0,25x² - 0,25x + 2,25) • 3,46

= (0,865x² - 0,865x + 7,785) FE

Ab hier läuft es wie bei der ersten Lösungsmöglichkeit.

D 1.5

Für die Rauten gilt:

Du verwendest die angegebene Teillösung von
D 1.4:

0,25x² - 0,25x + 2,25 = 4 | -4

0,25x² - 0,25x - 1,75 = 0

a = 0,25; b = - 0,25; c = - 1,75

Nr. 8

weiter D 1.4

Du bestimmst den Extremwert, indem du den Scheitel der Parabel

y = 0,865x² - 0,865x + 7,785

bestimmst.

a = 0,865; b = - 0,865, c = 7,785

A_min = 7,57 FE für x = 0,5

Nr. 7

weiter D 1.4

Doch hier hat der Vektor feste Zahlenwerte und den Vektor lässt sich leicht in Abhängigkeit von x (x-Wert von A bzw. B) angeben. Voraussetzung ist natürlich, dass du die Teilaufgabe D 1.3 gelöst hast.

Bewertung: Es ist ein gangbarer Weg.

Dann gibt es noch die normale Flächenformel
A = g • h. Kennst du etwas davon oder hast etwas davon schon berechnet? Natürlich du hast d berechnet. Du könntest d als Höhe nehmen. Die Grundseite wäre [A_nB_n] und die Länge kannst du locker in Abhängigkeit von x angeben. Auch das wäre eine Lösungsmöglichkeit.

Lösung mit Determinantenformel

Vektor 1:

Vektor 2:

Nr. 6

Obwohl das Quadrieren einer Gleichung keine Äquivalenzumformung ist, ist es oft sehr hilfreich. Sonst kannst du nämlich Gleichungen mit Wurzeltermen nicht rechnerisch lösen. Du musst nur hinterher die hinzugekommenen Lösungen ausscheiden. Das geht anhand der Zeichnung.

D 1.4

Wenn du dich hier auf die erstbeste Lösungsidee stürzt, brauchst du vermutlich nach 5 Minuten einen Augenarzt, weil der Versuch ins Auge gegangen ist. Es gibt nur einen vernünftigen Weg zur Lösung. Erst darüber nachdenken, welche Möglichkeiten du überhaupt hast, den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen. Dann vergleichst du deine Formeln/Möglichkeiten mit den Kenntnissen über die Variablen in diesen Formeln. Du musst das Risiko des Rechenaufwandes abschätzen. Du hast hier für diese Aufgabe nur etwa 50 Minuten Zeit. Glaube mir die paar Minuten des ruhigen Nachdenkens lohnen sich. Nützlich wäre auch die Erfahrung mit 6 bis 10 Aufgaben dieser Art.

Manche müssen erst hilflos in der Prärie stehen ehe sie lernen!

Im Koordinatensystem ist natürlich die Determinatenformel die erste Wahl. Dazu brauchst du 2 Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen. Einer davon sollte fest stehen, d.h. aus Zahlenwerten bestehen. Wenn du beide nur in Abhängigkeit von x hast, dann, tja dann verspreche ich dir, du landest in der Prärie, nein, schlimmer, in der Sahara.

Nr. 5

weiter D 1.3 - 3. Möglichkeit

a = 1; b = - 7,98; c = 11,89

Wie immer ist das Einsetzen in die Lösungsformel ein Fake. Die reale Lösung erfolgt im EQUA-Menü des Casio-GTR.

EQUA F2; F1 a = 1; b = - 7,98; c = 11,89; F1

(y₁ = 1,98) und y₂ = 6

Die 1. Lösung der quadratischen Gleichung ist durch das Quadrieren hinzugekommen.

Das Quadrieren einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung!

Nr. 4

weiter D 1.3

2. Möglichkeit

Du setzt im Dreieck B₃C₃K den Pythagoras an.

Ansonsten läuft Möglichkeit 2 weiter wie Möglichkeit 1!

3. Möglichkeit

Nr. 3

weiter D 1.3

Jetzt musst du nur noch die y-Koordinate von C₃ berechnen. Ich sehe hier 3 verschiedene Lösungswege. Falls du noch einen siehst, maile ihn mir. Aber bitte keinen Lösungsweg "von hinten durch die Brust geschossen". Umwege gibt es zahllose. Du kannst nämlich von München nach Hamburg auch über New York fliegen.

Für alle 3 Lösungsmöglichkeiten brauchst du die y-Koordinate von B₃. Du setzt die soeben ausgerechnete x-Koordinate x = 3,96 von B₃ in die Geradengleichung ein.

y = - 0,25•(-3,96) + 3 = 3,99
=> B₃ (- 3,96 / 3,99)

Zur Berechnung der y-Koordinate von C₃ musst Du nur noch die Streckenlänge berechnen. (Was ich mit dem Punkt K meine, siehst du, wenn du die Lösungsidee zu D 1.2 einblendest.)

1. Möglichkeit

Nr. 2

D 1.2

Du markierst auf der Parabel p und der Geraden g die Punkte A₁, B₁, A₂ und B₂ mit den verlangten x-Werten. Eine Berechnung der Koordinaten ist nicht notwendig und würde nur Zeit kosten. An die Strecke [AB] trägst Du in B den Winkel 60° an und misst von B aus jeweils 4 LE ab. Eine Konstruktion ist nicht verlangt und daher nicht notwendig. Du sollst nur die 2 Beispiele zeichnen, die Deine Phantasie für die Lösungsmöglichkeiten aktivieren soll und Du bekommst noch Punkte dafür.

Die Lösungsidee für die Berechnung des Abstandes d kannst Du Dir links mit dem Schalter im Applet einblenden. Doch ich bin mir sicher, Du kommst auch selber drauf.

D 1.3

Warum glaubst du, hat der Aufgabenbastler in D 1.2 die Lösung angegeben? Richtig! Du brauchst diese Angabe hier. Du könntest sonst nicht weiter machen.

Dies bedeutet A₃ und B₃ haben die x-Koordinate x = - 3,96. Mit diesem Wissen solltest du das Parallelogramm A₃B₃C₃D₃ zeichnen können.

Nr. 10

weiter D 1.5

Nachdem du die Koeffizienten/Beizahlen a,b und c in die Lösungsformel eingesetzt hast, bestimmst du die eigentlichen Lösungen besser im EQUA-Menü deines Casio-GTR.

EQUA F2; F1 a = 0,25; b = - 0,25; c = - 1,75 ; F1

x₁ = - 2,19 und x₂ = 3,19

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