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Algebra mit Spaß lernen
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Geradewegs zu den Sternen 6
Lineare Funktionen - Geraden mit y-Achsenabschnitt |
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Weißt du was, alle unsere Geraden haben sich bisher ängstlich an den Ursprung geklammert. Geben wir ihnen doch die Freiheit! Schieben wir sie dorthin, wohin sie wollen.
Ach du meine Güte, zwei Bonbons in einer Tüte! Ich habe vergessen dich zu begrüßen. Hallo du, ich freue mich das du da bist und begrüße dich herzlich und froh.
Wir wollen also heute und hier Geraden aus dem Ursprung verschieben. Dazu habe ich dir natürlich wieder ein dynamisches Arbeitsblatt gefertigt. Den Ausgangszustand des Arbeitsblattes kannst du wieder herstellen, wenn du im Arbeitsblatt rechts oben die blauen "Kreispfeile" anklickst.
Du sollst meine Gerade g: y = 0,5x nach oben oder unten verschieben. Wie machst du das? Ganz einfach du benutzt den Schieberegler t. Er verschiebt die Gerade in Richtung der y-Achse oder gegen die Richtung der y-Achse. Der Verschiebungsvektor wird dir im Arbeitsblatt angezeigt. Warum ist die x-Koordinate des Verschiebungsvektors immer "0"?
Im Rand rechts plaudere ich weiter mir dir. Die einzelnen Plaudereien und Aufgaben lannst du dir einblenden, wenn du unten auf 0, 1, 2, 3 usw. klickst oder die Navigationsschalter im Rand benutzt. |
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| Nr. 1 |
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Schiebe meine Gerade bitte um 2 Längeneinheiten nach oben. Wie wirkt sich das auf die y-Koordinate aller Punkte der Geraden aus?
Meine Gerade hat die Gleichung y = 0,5x. Was ändert sich? Ganz gleich welchen Punkt du auswählst, du musst zu jeder y-Koordinate "2" addieren. Diesen Sachverhalt kannst du aber auch ganz allgemein mit einer Abänderung der Geradengleichung darstellen:
y = 0,5x + 2 |
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Verschiebe einmal willkürlich meine Gerade nach oben oder unten. Wo kannst du ablesen um wie viele Längeneinheiten du verschoben hast? Nein, alle meine Hilfsmittel musst du vergessen. Dir bleibt nur das blanke Koordinatensystem. Und das reicht, wirklich.
Es existiert nur die Gerade im Koordinatensystem.
Dort wo die Gerade durch die y-Achse geht, kannst du ablesen um wie viele Längeneinheiten du die Ursprungsgerade verschoben hast.
Die Strecke vom Ursprung zu diesem Durchgangspunkt nennt man y-Achsenabschnitt t der Geraden. |
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| Nr. 6 |
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Aufgabe 6:
Berechne die Gleichung der Geraden AB.
a) A(2/3) und B(-6/-1)
b) A(-1/1) und B(4/-2)
c) A(-1/4) und B(-6/0)
Hinweis: Beachte den Hinweis bei Aufgabe 5!
Aufgabe 7:
Löse die Gleichung
6x + 3y + 6 = 0
nach y auf und begründe: Der Graph ist eine Gerade, die durch die Verschiebung von g mit der Gleichung
y = -2x
parallel zur y-Achse entsteht. Bestimme den Verschiebungsvektor  . |
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| Nr. 5 |
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Aufgabe 5:
Berechne die Gleichung der Geraden AB mit A(0/3) und B(1/4).
Hinweis: Mache die Strecke zwischen A und B zu einem Steigungsvektor. Berechne  . Aus dem Steigungsvektor berechnest du die Steigung m. Ich hoffe, du weißt noch wie das geht. Ich denke gar nicht daran immer wieder von vorne anzufangen. Dann läuft es eigentlich wie in Aufgabe 4. Du setzt einen der beiden Punkte ein und berechnest den y-Achsenabschnitt t.
Lösung einblenden hier... |
=> 
y = 1x + t | A eingesetzt
3 = 1 • 0 + t => t = 3
=> g: y = x + 3 |
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Kontrolle wie in den vorherigen Aufgaben.
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| Nr 4 |
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Aufgabe 3:
Von der Geraden g ist der y-Achsenabschnitt t und der Punkt A gegeben. Bestimme die Gleichung von g.
a) t = 3; A(3/3)
b) t = -2,5; A(1/-4)
c) t = 1; A(4/-5)
d) t = -2; A(-1/4)
Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem Arbeitsblatt links wie in Aufgabe 2 beschrieben. Die nächste Aufgabe löst du auf ähnliche Weise und die Kontrolle ist wie gehabt.
Aufgabe 4:
Von der Geraden g ist der Steigungsfaktor m und ein Punkt P gegeben. Bestimme rechnerisch die Gleichung der Geraden durch P.
a) m = 1,5; P(5/0)
b) m = 0,5; P(-4/6)
c) m = -1; P(4/2)
d) m = -2; P(-1/3)
e) m = -0,6; P(1/-1,2) |
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| Nr. 3 |
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Aufgabe 2:
Von der Geraden g ist der y-Achsenabschnitt t = -3 und der Punkt A(3/3) gegeben. Bestimme die Gleichung von g.
Hinweis: Eine Geradengleichung wird durch die Steigung m und den y-Achsenabschitt t festgelegt. Für die gesuchte Gerade gilt also: y = mx - 3. Die Steigung m kannst du bestimmen, wenn du den Punkt A in diese Gleichung einsetzt.
Lösung hier... |
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y = mx - 3 | A eingesetzt
3 = m • 3 - 3 | + 3
6 = m • 3 | : 3
m = 2 => g: y = 2x - 3 |
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| Deine Geradengleichung, die du errechnet hast, kannst du links mit Arbeitsblatt kontrollieren. Wie? Du stellst die beiden Schieberegler m und t auf deine errechneten Werte ein. Meine beiden Punkte A und B lassen sich auf der Geraden mit der Maus hin und herschieben. Wenn es dir gelingt einen meiner beiden Punkte auf die gegebenen Koordinaten zu schieben, dann ist deine Geradengleichung richtig. |
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| Nr. 2 |
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Aufgabe 1:
Die Ursprungsgerade g wird mit dem Vektor verschoben. Gib die Gleichung der Bildgeraden an. Kontrolliere dein Ergebnis mit dem Arbeitsblatt links.
a) g: y = 2x; 
b) g: y = 0,5x; 
c) g: y =  x; 
d) g: y = - x; 
e) g: y = 3x;
f) g: y = -6x; 
g) g: y = 3,5x;  |
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Ergebnis:
Funktionen mit der Gleichung y = mx + t sind lineare Funktionen. Ihre Graphen sind Geraden. Die Gleichung heißt auch Normalform der Geradengleichung. Dabei sind m die Steigung und t der y-Achsenabschnitt der Geraden mit m, t   .
Für t = 0 ergibt sich die Form y = mx.
Geraden mit der gleichen Steigung m sind zueinander parallel! |
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Aufgabe 7:
7.1 Bestimme die Gleichung der unten dargestellten Geraden aus ihren Graphen, d.h. du sollst aus dem Graphen den Steigungsfaktor m und den y-Achsenabschnitt herauslesen und zwar durch Abzählen eines geeigneten Steigungsdreiecks bzw. Steigungsvektors. Zu deiner Hilfe habe ich auf jeder Geraden 2 Punkte platziert, die du mit der Maus packen und verschieben kannst.
Schalte aber erst einmal die Geraden b bis j aus. Damit das Arbeitsblatt übersichtlicher wird.
7.2 Berechne die Gleichungen der unten dargestellten Geraden aus zwei Punkten. Dazu kannst du meine Punkte nehmen, doch die Koordinaten sind oft unbequem. Oder du schiebst meine Punkte dorthin, wo die Koordinaten bequemer sind, und nimmst dann diese Punkte zur Berechnung.
7.3 Berechne die Nullstellen der Geraden.
Hinweis: Die Nullstelle einer Funktion ist der Schnittpunkt des Graphen, hier der Geraden, mit der x-Achse. Man könnte das auch x-Achsenabschnitt nennen. |
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a1 |
a2 |
b |
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c |
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d1 |
d2 |
e |
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f |
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g |
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h |
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i |
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j |
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a)
Du schiebst einen roten Punkt auf A(-3/0) und den anderen auf B(0/1). Siehst du das Steigungsdreieck? Stelle dir vor, du stehst als Minimensch im Punkt A und sollst parallel zu den Achsen zum Punkt B laufen.
Du läufst von A aus um 3 LE in Richtung der x-Achse und dann 1 LE in Richtung der y-Achse.
=> x = 3 und y = 1
=> 
Den y-Achsenabschnitt kannst du ablesen t = 1.
=> a: 
Auch die Nullstelle kannst du ablesen A(-3/0).
So und jetzt berechnest du die Gleichung der Geraden durch die Punke A(-3/0) und B(0/1).
1. Schritt: Berechnung des Steigungsvektors  |
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j)
Hier kannst du nur rechnen. Ja, ich bin manchmal so gemein, meine Schüler in die Prärie zu schicken. Ich will sehen, ob sie merken wo sie sind und sich zu helfen wissen.
Mit meinen Punkten
A(-0,07/-1,01) und
B(-0,93/5,01) gilt:
y =-7x + t | A eingesetzt
-1,01 = -7 •(-0,07) + t
-1.01 = 0.49 + t | -0,49
t = -1,5
j: y = -7x - 1,5
Nullstelle: y = 0 eingesetzt
0 = -7x - 1,5 | +1,5
1,5 = -7x | : (-7)
x = 0,21
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h)
Bringe meine Punkte in die Position A(-1/-5) und
B(0/0). Du marschierst von A 1 LE in Richtung der x-Achse und dann 5 LE in Richtung der y-Achse.
=> x = 1 und y = 5
aus B(0/0) => t = 0
h: y = 5x
B(0/0) ist die Nullstelle.
Berechnung:
=>
y = 5x + t | B eingesetzt
0 = 5 • 0 + t
t = 0
=> h: y = 5x
Für eine Ursprungsgerade muss eine Nullstelle nicht berechnet werden. Es gilt:
x = 0 |
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f)
Du kannst meine Punkte hinschieben wohin du willst, du bekommst nirgends ein klares Bild zum Herauslesen von von m und t. Oder du doch? Ich jedenfalls rechne hier gleich mit meinen Punkten A(-1,08/1,99) und B(0,24/5,96).
y= 6,02x + t | B eingesetzt
5,96 = 6,02 • 0,24 + t
5,96 = 1,44 + t | -1,44
t = 4,52
f: y = 6,02x + 4,52
Nullstelle: y = 0 eingesetzt
0 = 6,02x + 4,52 | - 4,52
-4,52 = 6,02x | : 6,02
x = -0,75
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weiter d)
Für die Berechnung benutze ich meine Punkte mit
A(-0,75/2,25) und
B(2,75/-1,25).
=>
=> y = -x + t | A eingesetzt
2,25 = - (-0,75) + t
2,25 = 0,75 + t | - 0,75
t = 1,50
=> d: y = -x + 1,50
Nullstelle: y = 0 eingesetzt
0 = -x + 1,50 | -1,50
-1,50 = -x | : (-1)
x = 1,50
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d)
Hast du schon geschoben? Und? Ja, ich weiß, ich bin gemein. Meine Punkte lassen sich nicht auf den Koordinatenachsen platzieren.Was nun?
Du siehst aber trotzdem die Schnittpunkte der Geraden c mit Koordinatenachsen. Also hast du ein Steigungsdreieck bzw. einen Steigungsvektor.
Schnittpunkt mit der x-Achse ist (vermutlich) (1,5/0) und Schnittpunkt mit der y-Achse ist (vermutlich) (0/1,5).
Du marschierst also 1,5 LE gegen die Richtung der x-Achse und 1,5 LE in Richtung der y-Achse.
=> x = -1,5 und y = 1,5
mit t = 1,5 gilt:
d: y = -1x + 1,5 oder
d: y = -x + 1,5
Zur Berechnung und Überprüfung brauchst du aber meine Punkte. Du kannst sie so benutzen wie sie sind oder in eine deiner Meinung nach geeignetere Position verschieben. |
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c)
Du schiebst meine beiden Punkte in die Position
A(-1/0) und B(0/-2). Von A aus marschierst du um 1 LE in Richtung der x-Achse und
2 LE gegen die Richtung der y-Achse.
=> x = 1 und y = -2
aus B(0/-2) => t = -2
=>c: y = -2x -2
=> A(-1/0) ist die Nullstelle.
Berechnung: =>
y = -2x + t | B eingesetzt
-2 = -2 • 0 + t
t = - 2
c: y = -2x - 2
Nullstelle: y = 0 eingesetzt
0 = -2x - 2 | +2
2 = -2x | : (-2)
x = -1 |
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b)
Du schiebst meine beiden Punkte in die Position
A(-1/0) und B(0/2). Von A aus marschierst du um 1 LE in Richtung der x-Achse und
2 LE in Richtung der y-Achse.
=> x = 1 und y = 2
Aus dem Punkt B(0/2) liest du den y-Achsenabschnitt t=2 ab.
Der Punkt A(-1/0) ist die Nullstelle.
Berechnung:
=>m= =2
y = 2x + t | B eingesetzt
2 = 2 • 0 + t
t = 2
b: y = 2x + 2
Nullstelle: y = 0
0 = 2x + 2 |-2
-2 = 2x | : 2
x= -1 |
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weiter a)
2. Schritt: Berechnung des Steigungsfaktors m.
3. Schritt: Berechnung des y-Achsenabschnitts t.
Dazu musst du einen deiner Punkte in die Geradengleichung einsetzen.
y =  x + t | A eingesetzt
0 = -1 + t | +1
t = 1
=> a: y = x + 1
Für die Nullstelle gilt y = 0.
y = x + 1 | y=0 eingesetzt
0 = x + 1 | -1
-1 = x | :
x = -3 |
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Schon erschöpft? Mach eine Pause! Ich habe noch ein schönes Arbeitsblatt für dich. Hier sollst du lernen mithilfe des y-Achsenabschnitts t und der Steigung m den Graphen einer Geraden zu zeichnen. Hier sind die 3 Schritte:
- Markiere den y-Achsenabschnitt t.
- Zeichne von t aus das Steigungsdreieck zu m.
- Zeichne den Funktionsgraphen (=Gerade).
Hinweis: Du musst die Steigung m als Bruch darstellen. Bei einer negativen Steigung musst du dich entscheiden, ob du das Minuszeichen zum Zähler oder zum Nenner nimmst.
Zähler und Nenner von m stellst du unten mit den Schiebereglern ein. Gleiches gilt für den y-Achsenabschnitt t. Dann schalte der reihe nach die 3 Schritte ein. Im Rand gibt es dazu weitere Aufgaben. |
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Aufgabe 8:
Zeichne die Geraden zu folgenden Funktionsgleichungen mit dem Arbeitsblatt links. Du könntest es natürlich auch erst einmal auf Papier versuchen.
a) y = 2x + 3
b) y = -2x -1
c) y = x + 2
d) y = 1,5x - 3
e) y = - x -2
f) y = 0,5x + 0,5
g) y = 0,2x + 1,7
h) y = -3x
i) y = 2,5x - 2,5
j) y = -0,25x - 4
k) y = 1,2x +1
l) y = -1,5x + 2
m) y = 0,8x - 3
n) y = -4x + 4
o) y = -  x +3 |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 19:34
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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Meine Plaudereien über die Lösungen zu den einzelnen Geraden kannst du unten ein- und ausblenden, wenn du rechts neben dem Arbeitsblatt auf a,b,c usw. klickst. Du kannst dich auch unten mit den Navigationsdreiecken vorwärts und rückwärts bewegen.
Aber erst selber arbeiten! Nur wer das Schnitzel selber ißt, wird satt! |
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x - 5 
x + t | A eingesetzt
x - 4
x + 1