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Algebra mit Spaß lernen
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Geradewegs zu den Sternen 10
Lineare Funktionen - Praxisorientierte Aufgaben |
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Grüß Gott und hallo! Du hast es fast geschafft. Du bist auf der 10. und letzten Seite dieser Lerneinheit zu den linearen Funktionen. Hier sollst du noch ein paar praxisorientierte Aufgaben kennenlernen.
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Aufgabe 1:
Durch Passau, wo Inn und Ilz in die Donau münden, fließt ein Großteil der Wassermenge aus ganz Bayern. Das jährliche Hochwasser gehört zum Leben der Stadt Passau. Deshalb ist vorgesorgt und man weiß, welche Maßnahme bei entsprechenden Hochwasserständen ergriffen werden müssen. |
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Wasserstand der Donau |
Folgen und Maßnahmen der Stadt |
7,40 m |
Die Promenade an der Donau wird nass und für den
Verkehr gesperrt. |
7,70 m |
Garagen und Andenkenläden an der Donaulände
werden geräumt. |
7,80 m |
Die Schifffahrt wird eingestellt. |
8,60 m |
Der Bereich an der "Ortspitze" ist von der Stadt
abgeschnitten. |
9,00 m |
Der Rathausplatz wird Bestandteil der Donau. |
9,50 m |
Das Waisenhaus muss geräumt werden. |
10,10 m |
Donau und Inn fließen in der Fußgängerzone zusammen. |
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Nach heftigen Regenfällen in Süddeutschland und in den Alpen steigt am 10. August der Pegel der Donau bedrohlich an. In der Einsatzzentrale des Katastrophenschutzes werden die Pegelaufzeichnungen, die das Wasserwirtschaftsamt stündlich vornimmt, fieberhaft untersucht. |
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| Datum |
10.08 |
10.08 |
10.08 |
10.08 |
| Uhrzeit |
8:00 |
9:00 |
10:00 |
11:00 |
| Zeit (h) ab 8:00 Uhr |
0 |
1 |
2 |
3 |
| Pegelstand (cm) |
864 |
869 |
874 |
879 |
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a) Stelle den Zusammenhang zwischen der Zeit x h (ab 8:00 Uhr) und dem Pegelstand y m grafisch dar. (x-Achse: Start bei 8:00 Uhr und 1 cm <=> 1 h; y-Achse: Start bei 850 cm und 1 cm <=> 10 cm)
b) Begründe: Der dargestellte Graph ist der Graph einer Funktion.
c) Finde eine passende Funktionsgleichung.
d) Wann ist mit der Überflutung des Rathausplatzes zu rechnen, wenn die Donau so weiter steigt? Wann muss spätestens das Waisenhaus am Ort geräumt sein?
e) Um 14:00 hat der Pegel der Donau in Passau einen Stand von 984 cm erreicht. Seitdem bleibt der Pegel konstant. Die durchfließende Wassermenge beträgt 5600 m³ pro Sekunde.
Von der Messstelle am Inn bei Simbach (75 km flussaufwärts) kommt allerdings um 14:00 eine sehr beunruhigende Nachricht. Aufgrund starker Regenfälle in Tirol und am Alpenrand hat die Wasserführung des Inns noch stärker zugenommen.
Die Durchflussmenge an der Messstelle ist von 3120 m³ um 8:00 Uhr auf 3680 m³ pro Sekunde um 14:00 gestiegen. Die Fließgeschwindigkeit des Inn beträgt 10  . Welche Folgerungen wird die Einsatzleitung des Katastrophenschutzes in Passau ziehen?
Du sollstest diese Aufgabe erst selber versuchen bevor du meine Lösungen einblendest. mein Arbeitsblatt ragt in den Rand hinein. Du musst es also mit der Maus am roten Balken packen und nach links schieben um meine Plaudereien am Rand lesen zu können. |
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| Nr. 1 |
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b)
Du kennst hoffentlich noch das Merkmal an dem man erkennt, ob ein Graph eine Funktion darstellt oder nicht?
Wenn es zwei Punkte gibt, die übereinander liegen, die also dieselbe x-Koordinate haben, dann stellt der Graph keine Funktion dar.
So etwas gibt es hier nicht. Also stellt der Graph eine Funktion dar.
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| Nr. 6 |
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e)
Simbach liegt 75 km flussaufwärts, d.h. bei einer Fließgeschwindigkeit des Inn von 10 wird in Passau nach 7,5 Stunden die durchfließende Wassermenge nicht mehr 5600 m³ pro Sekunde sein, sondern etwa 560 m³ mehr (10 % mehr). Vielleicht ist es auch weniger.
Warum? Rechnen kannst du exakt. Aber die landschaftlichen Eigenheiten kannst du nicht in deine Rechnung einbeziehen. Was ist wenn der Inn ab einer bestimmten Höhe ein Steilufer überschwemmt und sich in die angrenzenden Felder ergießt?
Was ich sagen will ist, du kannst nicht einfach Durchflussmengen addieren. Die Topographie ( = landschaftliche Eigenheiten) spielt auch eine große Rolle.
Doch auf jeden Fall kann der Katastrophenschutz in Passau damit rechnen, dass der Pegel in den nächsten 7 Stunden noch weiter ansteigt und entsprechende Maßnahmen treffen. |
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| Nr. 5 |
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weiter d)
Rechnerische Lösung:
Du verwendest die Funktionsgleichung und setzt y=9 ein:
9 = 0,05x + 8,64 | - 8,64
0,36 = 0,05x | : 0,05
x = 7,2
Der Rathausplatz wird etwa kurz nach 15:00 Uhr überflutet. |
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Für das Waisenhaus kannst du grundsätzlich genauso verfahren. Aber nur grundsätzlich, wie du an meiner Messgeraden siehst. Das Koordinatensystem ist zu klein um die Lösung graphisch zu finden. Wie gut, dass du die Gleichung hast.
Du setzt in die Normalform y=9,5 ein:
9,5 = 0,05x + 8,64 | -8,64
0,86 = 0,05x | : 0,05
x = 17,2
Rechnerisch muss das Waisenhaus bis etwa 1:00 Uhr am 11.08 geräumt sein.
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| Nr. 4 |
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d)
Diese beiden Fragen kannst du entweder graphisch lösen oder rechnerisch.
Graphische Lösung:
Der Rathausplatz wird bei einem Pegelstand von 9,00m überflutet.
In meinem Arbeitsblatt findest du 2 rote Messgeraden, die parallel zu den Achsen sind, und die du mit der Maus verschieben kannst. Stelle die Messgerade für den Pegelstand auf 9,00m. Die Messgerade schneidet den blauen Funktionsgraphen. Jetzt schiebst du die 2. Messgerade für die Zeit soweit nach rechts bis sie durch diesen Schnittpunkt geht.
Du liest die Zeit 7,2 Stunden ab.
Antwort: Der Rathausplatz wird etwa kurz nach 15:00 Uhr überflutet.
Warum ist eine genauere Angabe unsinnig?
Was sagst du? Du hast in deinem Heft keine beweglichen Messgeraden? Klugscheißerle, du hast doch dein Geodreieck. Oderrrrr! |
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| Nr. 3 |
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weiter c)
Du setzt z.B.den Punkt (1/8,69) in die Normalform ein.
y = mx + 8,64 | (1/8,69)
8,69 = m • 1 + 8,64
8,69 = m + 8,64 | - 8,64
m = 0,05
y = 0,05x + 8,84
Du meinst, das kann nicht passen? Du liest eine ganz andere Steigung aus dem Graphen?
Vorsicht! Du hast hier zwei verschiedene Maßstäbe auf den Achsen. Wenn du hier die Steigung an den Kästchen abzählen willst, bedarf es ziemlicher Gehirnakrobatik.
Du kannst dieses Koordinatensystem nicht mit einem normalen Koordinatensystem vergleichen. |
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| Nr. 2 |
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c)
Zunächst einmal musst du dir klar machen was x und y bedeuten sollen. Der x-Wert gibt die Zeit in Stunden an und der y-Wert den Pegelstand in Meter.
Beim x-Wert ist der Nullpunkt 8:00 Uhr am 10.08. Von dort aus wird gerechnet. Beim y-Wert hast du 2 Möglichkeiten. Du legst den Nullpunkt auf 8,50m. Ein y-Wert wie y=1,50m würde dann bedeuten, der Pegelstand liegt 1,50m über 8,50m. Wenn du den wirklichen Pegelstand wissen wolltest, müsstest du noch 8,50 m addieren. Eine solche Geradengleichung wäre in der praktischen Anwendung ziemlich mühsam und gäbe zu Verwechslungen Anlass.
Was machst du also? Du lässt deine y-Achse bei 8,50 beginnen. Du lässt den Teil von 0 bis 8,50 einfach weg. Er ist uninteressant.
Nachdem du das überlegt hast, machst du eine Wertetabelle, gemäß deinen Überlegungen. Im Arbeitsblatt habe ich dies für dich gemacht.
Es gilt: t = 8,64
Du setzt einen Punkt (nicht den auf der y-Achse, den hast du schon verwendet) in die Normalform ein. |
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Aufgabe 2:
Am Fluss Ems werden große Schiffe gebaut. Um sie an die Küste nach Emden zu bringen, müssen sie durch den engen bei mittlerem Wasserstand nur etwa 7,30 m tiefen Fluss geschleppt werden. Die Gezeiten der Nordsee reichen jedoch im Fluss bis zum Werftgelände. Der Tabelle unten kannst du die Veränderungen des Wasserstandes gegenüber dem mittleren Wasserstand durch Ebbe und Flut bei Niedrigwasser (NW) und Hochwasser (HW) entnehmen. |
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Tag |
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Zeit |
Wasserstand in m |
1 |
NW |
1:20 |
- 0,5 |
1 |
HW |
5:50 |
3,5 |
1 |
NW |
13:20 |
- 0,5 |
1 |
HW |
18:50 |
3,4 |
2 |
NW |
2:00 |
- 0,5 |
2 |
HW |
6:30 |
2,9 |
2 |
NW |
14:00 |
- 0,5 |
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Nimm für die folgenden Aufgaben an, dass sich der Wasserstand zwischen HW und NW gleichmäßig ändert. In Wirklichkeit verläuft dieser Vorgang wesentlich komplizierter.
a) Stelle für 2 Gezeitenphasen (NW-HW-NW-HW-NW) den Wasserstand graphisch dar. (x-Achse: Zeit 2 h <=> 1 cm; Beginn bei 1:20 Uhr; y-Achse Wasserstand 1 m <=> 1 cm)
b) Entnimm dem Graphen, zu welcher Zeit ein Schiff mit 8,20 m Tiefgang den Fluss befahren kann.
c) Stelle für die ersten beiden Abschnitte des Graphen jeweils eine Gleichung auf.
Wenn du auf "a" klickst, blendest du die Grafik ein. Zuerst versuchst du es aber selber. Schiebe das Arbeitsblatt am roten Balken nach links und blende dann meine Lösungen ein. |
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| Nr. 1 |
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a)
Um den Graphen zu zeichnen, musst du zuerst eine Wertetabelle für x und y erstellen.
Zeitpunkt A (1:20):
x = 0 und y = 7,3-0,5= 6,80
Zeitpunkt B (5:50):
5:50 - 1:20 = 4,5 h
x = 2,25
y = 7,30 + 3,5 = 10,80
Zeitpunkt C (13:20):
13:20 - 1,20 = 12 h
x = 6
y = 6,80
Zeitpunkt D (18:50):
18:50 - 1:20 = 17,5 h
x = 8,75
y = 10,40
Zeitpunkt E (2:00):
(2:00 - 1:20) + 24 = 24,67 h
x = 12,33
y = 6,80 |
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| Nr. 4 |
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c)
Teilabschnitt 1:
Wegen A(0/6,8) folgt t = 6,8.
Du setzt B(2,25/10,80) in die Normalform ein:
10,80 = m • 2,25 + 6,8 | -6,8
4 = 2,25m | : 2,25
m =  =1,78
y = 1,78x + 6,8
Teilabschnitt 2:
Du setzt z.B. C in die Normalform ein.
6,8 = -1,07 • 6 + t
6,8 = - 6,4 + t
t = 13,2
y = -1,07x + 13,2
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| Nr. 3 |
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weiter b)
Schnittpunkt 3:
Du liest ab x = 7. Das sind 2*7= 14 Stunden.
1:20 + 14 h = 15:20 Uhr
=> Der Transport kann um 15:20 wieder starten.
Schnittpunkt 4:
Du liest ab x = 11. Das sind 11*2= 22 Stunden.
1:20 + 22 h = 23:20 Uhr
=> Der Transport muss um 23.20 wieder stoppen.
Mit Hilfe der in Teilaufgabe c zu berechnenden Funktionsgleichungen könntest du es auf die Sekunde genau berechnen. Wäre das sinnvoll?
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| Nr. 2 |
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b)
Was du im Arbeitsblatt links mit meinen Messgeraden anstellst, das musst du in deinem Heft mit dem Geodreieck machen. Stelle die y-Messgerade auf
y = 8,2. Die Messgerade schneidet den roten Graphen in 4 Punkten. Mit der x-Messgerade kannst du die x-Werte dieser Schnittpunkte feststellen und aus ihnen die Uhrzeit berechnen.
Schnittpunkt 1:
Du liest ab x = 0,8. Das sind 0,8*2=1,6 Stunden. Damit du keine Probleme bekommst, rechnest du besser in Minuten.
1,6 * 60 = 96 Minuten
1:20 + 96 Minuten = 2:56 Uhr
=> Die Ems erreicht bei auflaufender Flut um 2:56 Uhr einen Pegel von 8,20 m. Der Schlepper kann mit dem Transport beginnen.
Schnittpunkt 2:
Du liest an x = 4,7. Das sind 4,7*2=9,4 Stunden.
9,4 * 60 = 564 Minuten
1:20+564 Minuten=10:44 Uhr
=> Die Ems fällt bei ablaufender Flut um 10:44 Uhr wieder auf einen Pegel von 8,20 m. Der Transport muss an einer geeigneten tiefen Stelle Pause machen. |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 19:35
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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