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Algebra mit Spaß lernen
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Bienen, Biber und Binome 1
1. Binomische Formel |
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Grüß dich Gott und herzlich willkommen zur Lernheit über die binomischen Formeln und ihre Anwendungen. Warum die Lerneinheit Bienen, Biber und Binome heißt? Der Bienenfleiß ist sprichwörtlich und Biber fällen mit Ausdauer und Sturheit auch die stärksten Bäume und bauen Burgen. Du bist die Biene und musst auch Biber sein, und auch ich habe die Sturheit eines Bibers dich immer wieder und wieder nach den binomischen Formeln zu fragen. Du brauchst diese Formeln von der 8. Klasse bis zur 10. Klasse wie die Luft zum Atmen. Und glaube nicht, dass es ausreicht zu wissen, wo die binomischen Formeln in der Formelsammlung stehen. Scheibenkleister, das nutzt dir einen Pfeifendeckel.
Die binomischen Formeln sind Werkzeuge, du musst sie überall und immer in den Matheproblemen erkennen können, auch wenn sie auf den ersten Blick nur schemenhaft zu bemerken sind. Einen vertrauten Menschen kannst du an seinen Bewegungen erkennen, auch in der Nacht bei schlechter Beleuchtung. So ist es auch mit den binomischen Formeln. Wenn du in der Nacht einen Menschen erkennen willst, der sich bewegt, reicht es sicherlich nicht aus, wenn du ein Foto aus der Tasche holst und vergleichst. Du musst wissen, wie er aussieht, und du musst wissen, wie er sich kleidet und sich bewegt.
Kurz und gut, wenn ich dich erwische, dass du eine binomische Formel nicht auswendig kannst, schreibst du sie 50 mal, beim zweiten Mal 100 mal, beim dritten Mal 150 mal usw. Und glaube nicht, dass ich den Überblick verliere. Ich schreibe mir das auf. Alles klar?
Du hast nur die Wahl Biene und Biber zu sein!
Hier hilft nur emsiger Fleiß, Durchhaltevermögen und Sturheit!
So nach dieser eindringlichen Vorrede, will ich dir erst einmal die Nützlichkeit der 1.Binomischen Formel für das Kopfrechnen zeigen. Ich nehme mal an du gehörst auch zu den Schülern/Schülerinnen, welche die Quadratzahlen von 11 bis 20 nicht können, obwohl sie sie können müssten, weil es äußerst nützlich wäre. Macht nichts! Mit Hilfe der 1.Binomischen Formel kannst du alle Quadratzahlen zwischen 11 und 99 im Kopf ausrechnen. Brauchst du nicht, weil du einen Taschenrechner hast? Was machst du, wenn ich dir den verbiete? Doch das darf ich!
Ich habe unten für dich ein Arbeitsblatt gemacht. Was es damit auf sich hat erkläre ich dir im rechten Rand. meine Plaudereien blendest du ein, wenn du unten auf 1, 2, 3, usw. klickst.
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1. Binomische Formel
(a + b)² = a² + 2ab + b²
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Wenn ich dir um Mitternacht im Traum erscheine und dich nach dieser Formel frage, dann musst du sie auswendig aufsagen können. Wenn du bei deiner Hochzeit "Ja" gesagt hast, und der Standesbeamte fragt dich überraschend nach dieser Formel, dann musst du sie aufsagen können. Wenn du nach einem hoffentlich glücklichem langen Leben an die Himmelspforte kommst und Petrus dich nach dieser Formel oder nach Formel 2 oder Formel 3 fragt, dann musst du sie aufsagen können. Sonst nix Himmelreich!
Diese algebraische "Struktur", lässt sich natürlich nicht nur geometrisch zeigen, sondern auch algebraisch. Du musst dazu das Distributivgesetz anwenden, oder kürzer du musst wissen, wie man 2 Klammern miteinander multipliziert:
Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glied in der zweiten Klammer multipliziert.
(a + b)² = (a + b) * (a + b) = a*a + a*b + b*a + b*b = a² + 2ab + b²
Das ist zwar sehr elegant und kurz, aber weniger gut durchschaubar. Nichtsdestotrotz werde ich dieses algebraische Verfahren bei der 2. und der 3. Binomischen Formel verwenden. Wir wollen doch zu Potte kommen.
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Jetzt gibt es Aufgaben, die du zunächst auf Papier löst. Dann blendest du auf meine Lösung mit Mausklick ein und kontrollierst dich. Ich weiß als alter Mathe-Pauker, dass du meistens Lücken im Bruchrechnen, im Rechnen mit Dezimalzahlen und Potenzgesetzen hast. Ich werde dir das notwendige Grundwissen zu jeder Aufgabe am Rand zur Verfügung stellen. Wenn du meinst, du brauchst Hilfe, blendest du es per Mausover ein. Mit Mausout wird es wieder ausgeblendet. Alles klar, Maja oder Willi? |
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Aufgabe 1:
Forme in eine Summe um.
a) (0,2x + 11)² =
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| Lösung einblenden hier... |
Grundwissen einblenden hier... |
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(0,2x + 11)² =
a = 0,2x und b = 11
(0,2x + 11)² = 0,04x² + 2*0,2x*11 + 121 = 0,04x² + 4,4x + 121 |
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b) (5x + 0,2y)² = |
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| Lösung einblenden hier... |
Grundwissen einblenden hier... |
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(5x + 0,2y)² =
a = 5x und b = 0,2y
(5x + 0,2y)² = 25x² + 2*5x*0,2y + 0,04y = 25x² + 2xy + 0,04y² |
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c) (2x² + z³)² = auch das ist ein Binom mit derselben algebraischen Struktur
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| Lösung einblenden hier... |
Grundwissen einblenden hier... |
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(2x² + z³)² =
a = 2x² und b = z³
(2x² + z³)² = 4x4 + 2*2x²*z³ + z6 = 4x4 + 4x²z³ + z6 |
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d)  |
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| Lösung einblenden hier... |
Grundwissen einblenden hier... |
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e)  |
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| Lösung einblenden hier... |
Grundwissen einblenden hier... |
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Keine Sorge da kommen noch mehr Aufgaben, wenn du alle 3 binomischen Formeln kennst. Doch jetzt musst du rückwärts arbeiten. Du bekommst jetzt Summen von mir, die alle vollständige Binome sind, und du sollst mir das Binom angeben.
Aufgabe 2:
Forme in ein Produkt um.
a) x² + 4x + 4 = |
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| Lösung einblenden hier... |
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a² = x² und b² = 4 => a = x und b = 2 =>
x² + 4x + 4 = (x + 2)² |
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b) x² + 5x + 6,25 = |
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| Lösung einblenden hier... |
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a² = x² und b² = 6,25 => a = x und b = 2,5 =>
x² + 5x + 6,25 = (x + 2,5)² |
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c) 9x² + 12x +4 = |
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| Lösung einblenden hier... |
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a² = 9x² und b² = 4 => a =3x und b =2 =>
9x² + 12x +4 = (3x + 2)² |
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Wenn du alle 3 binomischen Formeln kennst, gibt es weitere Übungen! |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 19:35
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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Juhu! Ich kann es! |
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| Nr. 5 |
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Formen wir noch ein paar Binome mit Hilfe der 1.Binomischen Formel um.
Du fragst welchem Zweck das dient? Wenn ich dir jetzt antworte, damit kannst du z.B. quadratische Gleichungen lösen. Du kannst z.B. den größtmöglichen oder den kleinstmöglichen Flächeninhalt von sich ändernden Flächen berechnen. Hilft dir das weiter? Also du musst dich schon gedulden, bis du so weit bist. Und bis dahin hilft nur Bienenfleiß und Bibersturheit, sonst erreichst du diesen Punkt gar nicht.
(x + 4)² =
a = x und b = 4
(x + 4)² = x² + 2*x*4 + 4² =
x² + 8x +16
(0,5 + y)² =
a = 0,5 und b = y
(0,5 + y)² =
0,5² +2*0,5*y + y² =
0,25 + y + y² |
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| Nr. 6 |
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Von hier ab musst du ohne Farben auskommen.
(4x + 2y)²=
a = 4x und b = 2y
(4x + 2y)²=
16x² + 2*4x*2y + 4y² =
16x² + 2*4*2*xy + 4y² =
16x² + 16xy + 4y²
Versuchen wir es eine Zeile kürzer:
(3x + 0,5z)² =
a = 3x und b = 0,5z
(3x + 0,5z)² =
9x² + 2*3x*0,5z + 0,25z²
9x² + 3x + 0,25z²
So und jetzt geht es unter dem Arbeistblatt mit Übungen weiter. |
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| Nr. 4 |
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Diese selbe Struktur, dieser selbe Aufbau lässt sich nun durch eine Formel darstellen
(a + b)² =
a² + 2*(a*b) + b² =
oder kürzer
a² + 2ab + b²
Diese 1.Binomische Formel kannst du nun nicht nur zur Berechnung von Quadratzahlen benutzen, sondern auch zur Termumformung von Termen, die dieselbe Struktur, denselben Aufbau haben, eben auf Binome.
(2u + v)² =
Es gilt:
a = 2u und b = v
=> (2u + v)² =
(2u)² +2*2u*v + v² =
4u² + 4uv + v²
Mit ein wenig Übung kannst du das bald in einer Zeile und ohne Farben. Doch schreibe dir immer hin a = und b =. Du machst weniger Fehler. |
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| Nr. 3 |
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Diese selbe Struktur, diesen selben Aufbau will ich nun auf meine Beispiele vom Anfang anwenden.
37² = (30 + 7)² =
30² + 2*(30*7) + 7² =
900 + 420 +49 = 1369
53² = (50 + 3)²
50² + 2*(50*3) + 3² =
2500 + 300 + 9 = 2809
84² = (80 + 4)²
80² + 2*(80*4) + 4² =
6400 + 640 + 16 = 7056
Wenn du diese selbe Struktur, diesen selben Aufbau des Rechenterms beherrscht und ein halbwegs normales Gedächtnis besitzt, solltest du solche Rechnungen im Kopf machen können. Wenn du es nicht schaffst, brauchst du Gedächtnistraining und Nüsse. Nüsse essen und Gedichte auswendig lernen stärken das Gedächtnis. |
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| Nr. 2 |
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19² = (10 + 9)² =
10² + 2*(10*9) + 9² =
100 + 180 + 81 = 361
Die Parallelen zerlegen das Quadrat in 4 Teilflächen, in 2 Quadrate und 2 Rechtecke.
Schau dir das Ganze einmal für
17² = (10 + 7)²
an. Stelle den grünen Schieberegler auf 7. Durch Anklicken wird er aktiviert, dann kannst du ihn verschieben.
Der Rechenterm hat dieselbe Struktur, denselben Aufbau.
17² = (10 + 7)²
10² + 2*(10*7) + 7² =
100 + 140 + 49 = 289
Probiere es mit allen Zahlen zwischen 11 und 19. Das leistet nämlich der grüne Schieberegler.
Der Rechenterm zur Flächenberechnung hat immer dieselbe Struktur, denselben Aufbau. |
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| Nr. 1 |
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Wie kannst du 37², 53², 84² locker und leicht im Kopf berechnen? Um dir das zu zeigen, habe ich mir als Beispiel
19²
ausgesucht. Links siehst du ein Quadrat gezeichnet, dessen Seitenlänge 19 LE ist.
Von der Ecke unten links habe ich 10 LE nach rechts und nach oben abgetragen. Durch die beiden Punkte habe ich dann Parallelen zu den Seiten gezogen.
Warum ich das gemacht habe? Um 19² im Kopf zu rechnen, musst du 19² in ein Binom verwandeln.
19² = (10 + 9)²
Binom heißt nichts anderes als zweigliedriger Term.
Meine Parallelen teilen das Quadrat in 4 Teilflächen, die sich mit Hilfe der Längen 10 und 9 berechnen lassen.
Es gilt:
A = Rot + 2x Blau + Grün |
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Zwei Dezimalzahlen werden multipliziert in dem du sie ohne Berücksichtigung des Kommas multiplizierst. Dann gibst du dem Ergebnis so viele Kommastellen, wie beide Dezimalzahlen zusammen haben:
0,4 * 0,3 => 4 * 3 = 12
zusammen 2 Kommastellen =>
0,4 * 0,3 = 0,12
0,5 * 13 => 5 * 13 = 65 =>
0,5 *13 = 6,5 |
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Zwei Dezimalzahlen werden multipliziert in dem du sie ohne Berücksichtigung des Kommas multiplizierst. Dann gibst du dem Ergebnis so viele Kommastellen, wie beide Dezimalzahlen zusammen haben: 0,4 * 0,3 => 4 * 3 = 12 zusammen 2 Kommastellen => 0,4 * 0,3 = 0,12 0,5 * 13 => 5 * 13 = 65 => 0,5 *13 = 6,5 |
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Hier brauchst du das 3.Potenzgesetz. Die Potenz einer Potenz - (a³)² - bildest du, in dem du die Hochzahlen multiplizierst.
(a³)² = a3*2 = a6 |
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Eine gemischte Zahl wie z.B.  wandelst du in einen unechten Bruch um, in dem du den Nenner mit der Anzahl der Ganzen - hier 2*3 = 6 - multiplizierst und den Zähler addierst - hier 6 + 1= 7
=> 
Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, in dem du den Zähler mit der Zahl multiplizierst:  |
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Eine gemischte Zahl wie z.B. wandelst du in einen unechten Bruch um, in dem du den Nenner mit der Anzahl der Ganzen - hier 2*3 = 6 - multiplizierst und den Zähler addierst - hier 6 + 1= 7
=>
Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, in dem du den Zähler mit der Zahl multiplizierst:
Hier brauchst du auch das 3.Potenzgesetz. Die Potenz einer Potenz - (a³)² - bildest du, in dem du die Hochzahlen multiplizierst.
(a³)² = a3*2 = a6
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