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Algebra mit Spaß lernen
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Bienen, Biber und Binome 5
Extremwerte quadratischer Terme I
(nur mit schneller Verbindung sinnvoll)
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Ich hoffe, du hast dich von den Strapazen der letzten Tage etwas erholt. Aber dafür bist du jetzt auch gut trainiert. Grüß dich Gott und ich freue mich, dass du wissen willst, wozu die Binomischen Formeln gut sind. Sie sind Werkzeuge, und mit Werkzeugen kannst du verschiedene Dinge anstellen. Mit diesen Werkzeugen wirst du z.B. Extremwerte quadratischer Terme bestimmen, und das ist nur eine Anwendung.
Ja, ich weiß, dass du das jetzt nicht verstanden hast. Ich erklär' dir's ja schon. Oder soll ich alles auf einmal auf die Webseite kotzen? 'tschuldigung!
Also was ist ein quadratischer Term?
Terme heißen quadratische Terme, wenn die höchste Potenz der Variablen die Zahl 2 ist.
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Alle unsere Binome, die wir bisher kennengelernt haben, sind quadratische Terme. Doch es gibt auch quadratische Terme, die sind keine Binome z.B.:
x² + 3; -x² + 6x +40; (10 - x) (4 + x); - (x - 3)² + 49 usw.
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Ach so, ja, was ist wenn im Term kein x² vorkommt z.B wie in 2x +3? Dann ist es eben kein quadratischer Term. So ein Term hat hier nichts zu suchen. Ab marsch, marsch in die 9.Klasse.
Du hast jetzt eine Vorstellung, was quadratische Terme sind? Der Name der Variablen kann natürlich jeder Buchstabe sein. Auch m² - 2m +1 ist ein quadratischer Term.
Alle quadratischen Terme sind absolute Extremisten.
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Nein, ins Gefängnis gehören sie nicht. Warum auch? Nur weil sie einen Extremwert besitzen?
So eine Variable in einem Term kannst du ja mit den verschiedensten Zahlen belegen und die Termwerte ausrechnen. Das Merkwürdige ist, dass so ein quadratischer Term entweder einen kleinsten Termwert (= Minimum) oder einen größten Termwert (= Maximum) besitzt. Diese Werte bezeichnet man als Extremwerte. Ist doch auch ziemlich krass, oderrrr?
Unten im Arbeitsblatt kann ich es dir besser verklickern. Du kannst meine Plaudereien im Rand einblenden, in dem du auf 1, 2, 3 usw. klickst. |
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| Nr. 1 |
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Wir wollen jetzt gemeinsam untersuchen, für welche Belegung der Variablen ein quadratischer Term einen Extremwert, d.h. einen kleinsten bzw. größten Wert annimmt.
Man spricht hier auch vom Maximum bzw. Minimum eines Terms.
Wir nehmen dazu 6 quadratische Terme her und untersuchen sie mit Hilfe von Wertetabellen, und zwar untersuchen wir sie sowohl mit numerischen als auch mit graphischen Wertetabellen. Die meiste Arbeit habe ich dir mit meinen Arbeitsblättern schon abgenommen.
T1(x) = x²;
x  [-3;3]; 
Was bedeutet das? Du sollst eine Wertetabelle von -3 bis 3 mit der Schrittweite 1 erzeugen.
Wenn du links den Schieberegler für x betätigst, kannst du unter der numerischen Wertetabelle beobachten, wie du das machen musst. Gleichzeitig wird auch eine graphische Wertetabelle erzeugt. Aktualisiere das Arbeitsblatt mit Klick auf die blauen Doppelpfeile. Spiele und beobachte! |
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| Nr. 2 |
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T1 hat ein Minimum 0
für x = 0
Man schreibt:
Tmin = 0 für x = 0
Jetzt musst du erst einmal das nächste Arbeitsblatt einblenden.
Arbeitsblatt 2 einblenden hier...
T2(x) = x²-2;
x [-3;3];
Tmin = -2 für x = 0
Arbeitsblatt 3 einblenden hier...
T3(x) = x²+2;
x [-3;3];
Tmin = +2 für x = 0 |
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| Nr. 3 |
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Arbeitsblatt 4 einblenden hier...
T4(x) = (x - 3)²+2;
x [0;6];
Tmin = +2 für x = 3
Arbeitsblatt 5 einblenden hier...
T5(x) = (x + 1 )²+2;
x [-4;2];
Tmin = +2 für x = - 1
Betrachte einmal den Term T5. Zu einem Quadrat wird die Zahl 2 addiert. Ein Quadrat ist immer positiv. Zu der Zahl 2 oben wird also immer etwas addiert. Es gibt nur eine Ausnahme. Wenn der Wert der Klammer 0 ist, wird nichts addiert. deswegen ist die Zahl 2 der kleinstmögliche Gesamtwert, das Minimum. Stände dahinten -2, wäre der kleinstmögliche Wert - 2.
Verstehst du warum wir bisher nur Minima (= Mehrzahl von Minimum) gefunden haben? Was müssten wir ändern, damit wir einen größtmöglichen Wert, ein Maximum, finden? |
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| Nr. 4 |
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Bisher haben wir zu einer Konstanten (die Zahl am Ende unserer quadratischen Terme) immer etwas addiert. Der kleinstmögliche Wert war immer dort, wo wir 0 addierten.
Wenn wir von der Konstanten immer etwas subtrahieren, erhalten wir einen größtmöglichen Wert, wenn wir 0 subtrahieren. Was bedeutet das?
Vor dem Quadrat muss ein Minus stehen!
T6(x) = - (x - 2 )²+8;
x [0;6];
Tmax = 8 für x = 2
Ergebnis:
Steht vor dem Quadrat ein Minuszeichen, erhalte ich ein Maximum, sonst ein Minimum.
Hast du erkannt, wo du den Extremwert im Term ablesen kannst und den zugehörigen x-Wert?
Unter dem Arbeitsblatt geht es weiter. |
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Was du unten mit dem Arbeitsblatt anstellen sollst, lese bitte im rechten Rand nach. |
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Regel einblenden hier... |
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Maximum:
Wenn a < 0 ist, besitzen Terme der Form a (x - m)² + n ein Maximum
für x = m.
Du schreibst: Tmax = n für x = m
Für den zugehörigen x-Wert musst du immer das umgekehrte Vorzeichen wie in der Klammer wählen!
z.B. T(x) = -2 (x + 3)² -4 => Tmax = -4 für x = -3
Minimum:
Wenn a > 0 ist, besitzen Terme der Form a (x - m)² + n ein Minimum
für x = m.
Du schreibst: Tmin = n für x = m
Für den zugehörigen x-Wert musst du auch hier immer das umgekehrte Vorzeichen wie in der Klammer wählen!
z.B. T(x) = 27,25 (x - 8)² +12 => Tmin = 12 für x = 8
Bei dem Faktor vor der Klammer ist es nur wichtig, ob er positiv oder negativ ist. Das entscheidet über Maximum oder Minimum. Für den Wert des Extremwertes spielt der Faktor keine Rolle.
- 4 500 000 * 0 ist halt gleich Null! (Verstehst du nicht? Beim Extremwert ist der Wert der Klammer = 0) |
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Ich weiß, diese Regel ist ziemlich abstrakt. Aber watt mutt, datt mutt! Ich gebe dir noch 4 Beispiele und dann folgen Aufgaben.
T(x) = -2 (x - 1)² + 4 => Tmax = 4 für x = 1
T(x) = (x +3)² - 7 => Tmin = - 7 für x = - 3
T(x) = -2x² + 4 = -2 (x+0)² + 4 => Tmax = 4 für x = 0
T(x) = - (x - 5)² = - (x - 5)² + 0 => Tmax = 0 für x = 5
Die Beispiele gut studieren und dann "Auf gehts!".
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Aufgabe 2:
Bestimme die Extremwerte der folgenden Terme. Gib die zugehörige Belegung von x an. Mit Klick auf die Aufgabe blendest du die Lösung ein. Also Vorsicht mit Klicken! Nur wer das Schnitzel selber ißt, wird satt! |
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| a) T(x) = -3 (x - 7)² + 3 |
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| b) T(x) = 8 - 5 (x +7)² |
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| c) T(x) = - 0,1 (x + 1,1)² - 0,1 |
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| Tmax = - 0,1 für x = - 1,1 |
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| d) T(x) = 0,3 x² + 43 |
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| e) T(x) = 7 (x + 7)² - 9 |
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| f) T(x) = x² + 2 |
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| g) T(x) = 9 - 2x² |
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| h) T(x) = 1 - 11 (x - 3)² |
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| i) T(x) = 4 (x - 6)² |
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| k) T(x) = 1,5 (2,5 + x)² - 1 |
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| l) T(x) = - 1 - 2,5 (x -1,8)² |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 19:36
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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Bitte! Ich möchte auch mitmachen! |
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Aufgabe 1:
Links hast du 4 quadratische Terme bei denen du versuchen sollst den Extremwert, also Tmax oder Tmin, und den zugehörigen x-Wert aus dem Term herauszulesen. Du brauchst Papier und Bleistift!
Danach überprüfst du deine Ergebnisse mit dem Schieberegler.
Formuliere eine Regel für das Herauslesen der Extremwerte und der zugehörigen x-Werte. Und ich meine, du sollst es schriftlich formulieren. Nur so lernst du wirklich.
Welche Rolle spielt der Faktor vor der Klammer?
Unter dem Arbeitsblatt kannst du die Regel einblenden.
Doch nur wer das Schnitzel selber ißt, wird satt! Also erst selber formulieren! |
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Aufgabe 3:
Finde einen passenden Term. Wähle als Zahlenwert vor dem Quadrat entweder - 2 oder 2.
Mit Klick auf die Aufgabe blendest du die Lösung ein.
a) Tmin = 12 für x = 15 |
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| b) Tmax = 1 für x = -15 |
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| c) Tmax = 1 für x = 0 |
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| d) Tmax = 0 für x = -12 |
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| e) Tmin = - 2 für x = 0,5 |
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Aufgabe 4:
Bringe den Term auf die Form a(x-m)²+n und bestimme dann den Extremwert. Mit Klick auf die Aufgabe blendest du die Lösung ein.
a) T(x) = -(x²-12x+36) +2 |
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| T(x) = -(x - 6)² + 2 |
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| Tmax = 2 für x = 6 |
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| b) T(x) = 3 (x²+4x+4) - 5 |
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| T(x) = 3 (x + 2)² - 5 |
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| Tmin = - 5 für x = - 2 |
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| c) T(x) = 0,5 (x²-2x+1) + 3 |
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| T(x) = 0,5 (x - 1)² + 3 |
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| Tmin = 3 für x = 1 |
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