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Algebra mit Spaß lernen
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Bienen, Biber und Binome 6
Extremwerte quadratischer Terme II
(quadratische Ergänzung)
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Weißt du, wo du dich befindest? Du bist jetzt in der vorletzten Trainingseinheit. Grüß dich Gott zunächst. Erkläre mir einmal mit wenigen Sätzen, was du auf der letzten Seite gelernt hast.
Du kannst Extremwerte quadratischer Terme bestimmen, wenn sie nur eine bestimmte Form besitzen wie z.B.
T(x) = -3 (x +5)² +7
Tmax = 7 für x = - 5
Diese Terme bestehen aus einem Quadrat z.B. (x + 5)² und einem Zahlenfaktor davor z.B -3 (der auch -1 oder +1 sein kann). Und dahinter folgt eine konstante Zahl z.B. 7.
Es gibt aber auch quadratische Terme, die nicht so ausschauen wie z.B.
T(x) = x² - 6x + 10
Besitzen solche Terme auch Extremwerte? Kann man diese auch aus dem Term ablesen?
Aufgabe 1:
a) Erstelle eine numerische Wertetabelle für den Term T(x) = x² - 6x + 10
für
x  [0;6] mit der Schrittweite  und finde den Extremwert.
b) Welcher quadratische Term, in der uns bekannten Form, erzeugt die gleiche Wertetabelle und hat den gleichen Extremwert?
Du versuchst es erst selber auf Papier, dann blendest du meine Plaudereien zu dieser Aufgabe ein, in dem du auf 1, 2, 3 usw. klickst. Nur wer das Schnitzel selber ißt, wird auch satt. Wenn du glaubst, du könntest dir Zeit sparen, wenn du die Aufgabe nicht selber angehst, dann bist du auf dem Holzweg. Und Holzwege sind ja bekanntlich äußerst üble Hohlwege auf denen man sich entweder einen Beinbruch oder einen Achsenbruch holen kann.
Nur Holz- bzw. Hohlköpfe benutzen Holz- bzw. Hohlwege!
Glaubst du, dass du Skifahren oder Schwimmen durch Zuschauen lernen kannst? |
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| Nr. 1 |
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Da du die letzte Seite bewältigt hast, gehe ich mal davon aus, dass du weißt, wie du eine Wertetabelle anlegen musst? Oder? Ok, ich verstehe.
Mit einer Wertetabelle berechnest du Termwerte von Termen, die eine Variable z.B. x enthalten. Du belegst im Term der Reihe nach die Variable mit den geforderten x-Werten und rechnest den zugehörigen Termwert aus. In der Wertetabelle stehen die geforderten x-Werte oben und die zugehörigen Termwerte unten.
Das Belegen der Variablen x mit den geforderten x-Werten kannst du links im Arbeitsblatt beobachten, wenn du den grünen Schieberegler betätigst. Gleichzeitig wird die Wertetabelle mit den berechneten Termwerten gefüllt und auch ein graphische Wertetabelle angelegt.
Ich hoffe, deine Wertetabelle schaut so aus wie meine.
Wie du siehst hat auch dieser Term einen Extremwert. Es gilt:
T(x) = x² - 6x + 10
Tmin = 1 für x = 3 |
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| Wie schaut nun der äquivalente Term aus, der die gleiche Wertetabelle und den gleichen Extremwert erzeugt? |
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| Nr. 5 |
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Du fasst also die ersten beiden Glieder zusammen mit dem Ergänzungsterm zu einem vollständigen Quadrat zusammen:
x² - 6x + 3² = (x - 3)²
Die beiden Zahlen fasst du ebenfalls zusammen:
-3² + 10 = -9 + 10 = 1
Und du erhältst einen äquivalenten Term mit dessen Hilfe du den Extremwert dann bestimmen kannst:
T(x)=(x -3)² + 1
Aufgabe 2:
Bestimme den Extremwert von T(x)=x²+10x -11
Noch einmal ganz ausführlich, du darfst es später schneller und kürzer machen:
a² = x² => a = x
2ab = 10x =2*x*5 => b=5
T(x) = (x²+10x+5²)-5²+11
T(x) = (x + 5)² - 14
Tmin = -14 für x = -5
Unter dem Arbeitsblatt warten weitere Aufgaben auf dich. |
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| Nr. 4 |
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Nein, das ist keine hinterfotzige Trickserei. Sondern es ist nur geschickte Anwendung der bisherigen Kenntnisse und Regeln. Das ist Mathe! In Mathe brauchst du Kreativität, aber keine wilde, sondern eine geordnete. Im Rahmen aller bisherigen Regeln und Gesetzmäßigkeiten kannst du dich aber hemmungslos austoben.
Ok, noch einmal ganz langsam zum Mitdenken. Du sollst den Extremwert des Terms
T(x)=x²-6x+10
ohne Wertetabelle durch Termumformung bestimmen. Als erstes schiebst du einmal die konstante Zahl +10 zur Seite.
T(x)=x²-6x+ +10
Jetzt musst den vorderen Teil des Terms zu einem vollständigen Quadrat = Binom ergänzen. Du brauchst b um b² bilden zu können. Es gilt:
a² = x² => a = x
2ab = 6x =2*x*3 => b = 3
=> b² = 3² = 9
Dein Ergänzungsterm ist also 3². Wenn du ihn gleichzeitig wieder abziehst, veränderst du den Termwert des Gesamtterms nicht. Danach setzt du Klammern. |
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| Nr. 3 |
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Lass uns zunächst einmal den leichteren Weg gehen. Wie du ein Binom mittels der 2. Binomischen Formel auflösen musst, solltest du im Tiefschlaf können. Du löst das Binom auf und addierst die konstanten Zahlen und erhältst den Term aus Aufgabe 1. Damit hast du die Äquivalenz der beiden Terme gezeigt.
Interessanter, aber auch schwieriger, ist der umgekehrte Weg. Doch du musst ihn lernen, weil du sonst keine Extremwerte von Termen wie T(x) = x² - 6x + 10 bestimmen kannst. du musst es nämlich auch ohne Wertetabelle können.
Du hast auf Seite 4 schon ähnliche Aufgaben gelöst z.B.
Ergänze x² - 6x + _ zu einem vollständigen Quadrat.
Du stellst fest, es handelt sich hier um die Anwendung der 2. Binomischen Formel.
a²=x² und 2ab=6x=2*x*3
=> b = 3
Um den Term x²-6x+10 umzuformen, musst die ersten beiden Glieder x²-6x zu einem vollständigen Binom ergänzen. Du kannst aber nicht einfach 3² addieren. Dadurch wird der Termwert verändert. Du musst es gleichzeitig wieder abziehen. Damit addierst du nur Null. Was für ein Trick! Krass, heii, oderrr? |
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| Nr. 2 |
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Wenn du links den orangefarbigen Schalter betätigst, kannst du den äquivalenten Term einschalten. Mit dem grünen Schieberegler kannst du dir auch hier die Belegungen der Variablen x anschauen.
Bitte rechne die zugehörigen Termwerte im Kopf aus und überzeuge dich damit, dass es die gleichen Termwerte wie in der Wertetabelle sind.
Weißt du noch, wann zwei Terme äquivalent sind?
Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie bei jeder Belegung aus der gemeinsamen Definitionsmenge den gleichen Termwert haben.
Stimmt das hier? Vorsicht! Die Wertetabelle ist kein Beweis. Es stimmt hier zwar für die
x [0;6], aber stimmt es auch für x  ? Selbst Wertetabellen mit einigen tausend gleichen Termwerten nützen dir hier gar nichts. 7 Werte oder 1000 Werte, du kannst nur eine Vermutung aufstellen.
Das einzige was hilft, ist: Du musst den einen Term durch Termumformung in den anderen überführen und umgekehrt. Dann hast du die Äquivalenz gezeigt. |
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| Schalte jetzt den Nachweis links mit dem violetten Schalter ein. |
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So ab hier bekommst du von mir Aufgaben satt, d.h. du wirst Termumformungen machen um Extremwerte zu bestimmen. Trau dir was zu und versuche es erst selbst. Du kennst meinen Standardspruch "Nur wer das Schnitzel selber ißt, wird satt". Im Fußball heißt es so schön: "Auch der größte Einzelkönner muss erst die Laufwege seiner Mitspieler kennen bevor er den tödlichen Pass spielen kann."
Weißt du wer deine Mitspieler sind, deine Mannschaftskameraden? Es sind die Aufgabenbastler, solche Kameraden wie ich. Alle geben dir versteckte Zeichen, wo du hinspielen sollst. Dazu brauchst du Übung. Übung heißt Pauken! Viele halten dies heutzutage für ein Schimpfwort. Ich bin ein Mathe-Pauker und halte dies für einen Ehrentitel. Nur hartes Training führt zu großen Erfolgen. Erst das Training, erst die Paukerei, dann kannst du deine Kreativität zur Geltung bringen. Auch in Mathe gibt es Eleganz.
Die Lösungen der Aufgaben kannst du einblenden, wenn du auf die Aufgabenstellung klickst. |
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Aufgabe 3:
Ermittle den Extremwert des Terms durch quadratische Ergänzung ( =  )
a) T(x) = x² - 6x +11
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a² = x² => a = x
2ab = 6x = 2*x*3 => b = 3
=> (x² - 6x + 3²) - 3² + 11
=> (x -3)² +2 |
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=> Tmin = 2 für x = 3 |
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b) T(y) = y² - 8y + 18
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a² = y² => a = y
2ab = 8y = 2*y*4 => b = 4
=> (y² - 8y+ 4²) - 4² + 18
=> (y -4)² +2 |
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=> Tmin = 2 für y = 4 |
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a² = x² => a = x
2ab = 2x = 2*x*1 => b = 1
=> (x² - 2x+ 1²) - 1² + 5
=> (x -1)² +4 |
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=> Tmin = 4 für x = 1 |
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d) T(z) = z² + 5z - 3
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a² = z² => a = z
2ab = 5z = 2*z*2,5 => b = 2,5
=> (z² - 5z+ 2,5²) - 2,5² - 3
=> (z -2,5)² - 9,25 |
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=> Tmin = - 9,25 für z = 2,5 |
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a² = y² => a = y
2ab = y = 2*y*0,5 => b = 0,5
=> (y² - y + 0,5²) - 0,5² + 1,25
=> (z - 0,5)² + 1 |
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=> Tmin = 1 für y = 0,5 |
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f) T(x) = x² - 4x
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a² = x² => a = x
2ab = 4x = 2*x*2 => b = 2
=> (x² - 4x + 2²) - 2²
=> (z - 2)² - 4 |
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=> Tmin = - 4 für x = 2 |
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T(x) = x (x - 2) + 5 = x² - 2x + 5
a² = x² => a = x
2ab = 2x = 2*x*1 => b = 1
=> (x² - 2x + 1²) - 1² + 5
=> (x - 1)² + 4 |
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=> Tmin = 4 für x = 1 |
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h) T(x) = 3x (x + 1) - 2x²
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T(x) = 3x (x + 1) - 2x² = 3x² + 3x - 2x² = x² + 3x
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a² = x² => a = x
2ab = 3x = 2*x*1,5 => b = 1,5
=> (x² - 3x + 1,5²) - 1,5²
=> (x - 1,5)² - 2,25 |
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=> Tmin = - 2,25 für x = 1,5 |
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Die Fortsetzung folgt im rechten Rand. |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 19:36
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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Komm Willi ! Wir wollen quadratisch Ergänzen! |
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Aufgabe 4:
Bestimme den Extremwert.
T(x) = 2x² - 8x +5
Wenn bei dem x² eine Zahl ungleich 1 steht, dann musst du vor der quadratischen Ergänzung diese Zahl aus den Teiltermen mit x ausklammern!
2 [x² - 4x] +5 =
Verwende bitte eckige Klammern! Du brauchst ja später auch noch runde Klammern.
a² = x² => a = x
2ab = 4x = 2*x*2 => b = 2
=> 2 [(x²-4x+2²)-2²] + 5
2 [(x - 2)² - 4] + 5 =
Jetzt musst du die eckige Klammer noch auflösen!
2 (x - 2)² - 8 + 5 =
2 (x - 2)² - 3
=> Tmin = - 3 für x = 2 |
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Aufgabe 5:
Bestimme den Extremwert.
T(x) = 3x² + 9x + 12
Ausklammern!
3 [x² + 3x] + 12 =
Quadratisch Ergänzen!
a² = x² => a = x
2ab = 3x = 2*x*1,5
=> b = 1,5
3[(x²+3x+1,5²)-1,5²]+12=
3[(x + 1,5)² - 2,25] + 12=
Eckige Klammer auflösen!
3 (x + 1,5)² - 6,75 + 12 =
3 (x + 1,5)² + 5,25 =
Extremwert ablesen!
=> Tmin =5,25 für x=-1,5 |
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| Weitere Aufgaben hierzu findest du auf Seite 7, wie immer mit einblendbaren Musterlösungen. |
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