|
Algebra mit Spaß lernen
|
|
| |
Geraden geschnitten, Gleichungen gelöst 5
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen -
Aufgaben aus der Wirtschaft und Bewegungsaufgaben
|
|
| |
|
|
| |
Grüß Gottle! Ja, heute grüße ich dich einmal schwäbisch, schließlich bin ich in Schwaben aufgewachsen. In medias res, d.h. auf die Plätze fertig los!
Aufgabe 1:
Frau Monet hat 5000 Euro Festgeld bei der Raibank und Herr Klee 8000 Euro bei der Schlaukasse angelegt. Für beide Anlagen zusammen gibt es im Jahr 467,50 Euro Zinsen. Wenn man beide beide Zinssätze vertauschen würde, würden sich insgesamt 475,00 Euro Zinsen im Jahr ergeben.
a) Wer hat sein Geld zu einem höheren Zinssatz angelegt? Begründe.
b) Schätze wie hoch die Zinssätze sein könnten.
c) Berechne mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems die beiden Zinssätze.
Festgeld nennt man Geldanlagen, die für einen bestimmten Zeitraum fest gelegt sind. In diesem Zeitraum kann man nicht über das Geld verfügen. Je länger man sein Geld "festlegt" desto höher ist der Zinssatz.
Lösung einblenden hier... |
|
| |
|
|
| |
a) Frau Monet bringen 0,1%-Punkte 5 Euro im Jahr, bei Herrn Klee sind das 8 Euro. Der Unterschied bei den Zinsen nach Vertauschung sind 7,50 Euro. Daraus kannst du folgern, dass Frau Monet ihr Geld zu einem höheren Zinssatz angelegt hat.
b) Wenn du beide Beträge addierst, sind das 13 000 Euro. 1% sind 130 Euro. Du sollst schätzen. Die Zinszahlung liegt gerundet bei etwa 470 Euro. Was ist geschätzt 470:130?
470:130= 3 Rest 80 => 80 ist mehr als die Hälfte von 130, das wäre 65
Der durchschnittliche Zinssatz liegt also bei etwa 3,6% . Da der Zinssatz von Frau Monet höher sein muss als derjenige von Herrn Klee, kannst du durchaus berechtigt abschätzen, das Frau Monet ihr Geld zu einem Zinssatz von 3,7% und Herr Klee sein Geld zu einem Zinssatz von 3,5% angelegt hat.
Bedenke, bis jetzt hast du nur Überschlagsrechnungen gemacht. Vergleiche einmal deine Überschlagsrechnungen mit dem exakten Ergebnis. Tja ohne Prozentrechnung geht das natürlich alles nicht.
c) Zinssatz von Frau Monet => x %
Zinssatz von Herrn Klee => y %
Zinsen von Frau Monet =>  Euro
Zinsen von Herrn Klee =>  Euro
EQUA-F1-F1-F1
IL = {(3,75 | 3.5)}
Du wirst doch nicht glauben, dass ich dir zu Gefallen zu "Fuß" rechne? Selbstverständlich benutze ich den Gleichungslöser des Casio-GTR und alle, die ihn nicht haben, halte ich für arme Säue. Und alle Kollegen, die anderer Meinung sind, halte ich für ver(w)irrt. Früher diente mir der Rechenstab, heute ist der GTR mein Rechenknecht. Sollte es allerdings einmal keine Rechenknechte mehr geben, hat die Menschheit andere Sorgen als Matheunterricht.
Der Zinssatz von Frau Monet beträgt 3,75 % und der von Herrn Klee 3.5%. |
|
|
| |
Aufgabe 3:
Von Amhofen nach Burgstadt ist eine Reisegruppe mit Fahrrädern unterwegs. Ein Kleinbus ist für die Versorgung mit Getränken und für Pannenhilfe zuständig. Unten im Arbeitsblatt ist eine möglich Fahrt von Fahrradgruppe und Bus dargestellt.
a) Welcher der Graphen stellt die Fahrt mit dem Rad bzw. mit dem Bus dar?
b) Gib die Geschwindigkeiten der Radfahrer und des Kleinbusses an.
c) Von wo aus startet der Bus? Von Burgstadt oder von Amhofen? Begründe.
d) Ermittle die Gleichung der geraden, auf denen der blaue und der grüne Graph liegen.
e) Wann fährt der Bus ab, wann trifft er auf die Radfahrergruppe? Wie weit fährt er dabei?
f) Wann muss der Bus in Amhofen abfahren, damit er die Radfahrergruppe trifft, wenn diese genau die Hälfte ihrer Etappe zurückgelegt hat. Die Geschwindigkeit des Busses soll so groß sein wie in b). |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
| |
|
| Nr. 1 |
| |
a)
Schau dir erst einmal die Beschriftung der Achsen an. Nach rechts ist die Zeit abgetragen und nach oben die Entfernung. Wie weit ist Burgstadt von Amhofen entfernt?
Der blaue Graph zeigt, dass hier die Entfernung von 40 km in 140 Minuten bewältigt wird. Der grüne Graph zeigt, dass hier dieselbe Strecke in 30 Minuten bewältigt wird. Also stellt der blaue Graph die Radfahrergruppe und der grüne Graph den Kleinbus dar.
b)
Diese Aufgabe löst du am besten mit der zweimaligen Anwendung des Dreisatzes. |
| |
|
| Nr. 6 |
| |
weiter f)
Um festzustellen, wann der Kleinbus abfahren muss, musst du die Nullstelle der obigen Geraden berechnen, d.h. du musst berechnen, wo die Gerade die x-Achse schneidet. Die Nullstellenbedingung ist:
y = 0 |
| |
|
| Nr. 5 |
| |
e)
Der Kleinbus fährt 60 Minuten nach den Radfahrern in Amhofen los und trifft nach 16 Minuten Fahrtzeit auf die Radfahrergruppe. Er hat dabei eine Strecke von 22 km zurückgelegt.
f)
In diesem Fall gilt für S(70/20), d.h. S ist Mittelpunkt der Strecke [OP].
Da die Geschwindigkeit des Busses nach wie vor 80 km/h sein soll hat die zum grünen Graphen gehörende Gerade die Steigung  .
Du musst jetzt nur den y-Achsenabschnitt neu berechnen. |
| |
|
| Nr. 4 |
| |
weiter d)
Gerade QR:
Für den Steigungsvektor gilt:
Achsenabschnitt:
Geradengleichung:
|
| |
|
| Nr. 3 |
| |
c)
Da der Bus kein Zeitreisebus ist, der in der Zeit rückwärts fahren kann, ist der Kleinbus in Amhofen gestartet.
d)
Gerade OP:
Für den Steigungsvektor gilt:
Da OP eine Ursprungsgerade ist, gilt:
Der Ablauf für die Gerade QR ist ähnlich. |
| |
|
| Nr. 2 |
| |
weiter b)
40 km <=> 140 min
2,857 km <=> 10 min
17,14km <=> 60 min
NR: 40:14=2,85714
Die Radfahrergruppe ist mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit 17,14 KM/h unterwegs.
40 km <=> 30 min
80 km <=> 60 min
Der Kleinbus bewältigt die Strecke mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 80 km/h. |
| |
|
| Nr. 7 |
| |
weiter f)
Der Bus muss 55 Minuten nach der Radfahrergruppe in Amhofen abfahren.
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| |
Aufgabe 4:
Die Fähre FINNJET befindet sich um 10:00 Uhr bei dichtem Nebel in der Ostsee südlich der dänischen Insel Bornholm in Position F(80/40). Ihr kurs beträgt 15 sm 8Seemeilen) pro Stunde Richtung West und 5 sm pro Stunde Richtung Süd. Zur gleichen Zeit ist das Kreuzfahrtshiff Kap ARKONA östlich der Insel Rügen unterwegs. Ihre Postion A ist 40 sm westlicher und 30 sm südlicher als die position F. Der Kurs der Kap ARKONA beträgt 2,5 sm pro Stunde Richtung OST und 7,5 sm pro Stunde Richtung Nord.
a) Zeichne die Fahrtrouten der beiden Schiffe in ein Koordinatensystem.
(Für die Zeichnung: 1 cmm <=> 10 sm. Die y-Achse zeigt in Nordrichtung.)
b) Gib die Position S an, die von jedem der beiden Schiffe gekreuzt wird.
c) Ermittle diese Position mithilfe eines linearen Gleichungssystems.
d) Begründe: Die Geschwindigkeit der FINNJET ist doppelt so groß wie die der Kap ARKONA.
f) Berechne, ob es zum Zusammenstoß der beiden Schiffe kommt, wenn beide Kurs und Geschwindigkeit beibehalten. |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| Nr. 1 |
| |
a)
Du zeichnest den Punkt F ins Koordinatensystem. Von dort aus gehst du 15 sm in Richtung West und 5 sm in Richtung Süd. Damit hast du einen 2. Punkt der Geraden. Mit dem Punkt A machst du es ebenso.
b)
Die Position beträgt etwa (46/29).
c)
Zunächst musst du die Geradengleichungen aufstellen. Von jeder Geraden kennst du einen Punkt und den Steigungsvektor.
Der FINNJET fährt, wenn er 15 Seemeilen nach Westen fährt, auch 5 Seemeilen nach Süden. Er bewegt sich sozusagen gegen die Richtung der Koordinatenachsen. Es gilt:
|
| |
|
| Nr. 5 |
| |
weiter e)
Die beiden Routen schneiden sich in Position (46.25/28.75). Der FINNJET befindet sich um 10:00 Uhr in Position F(80/40).
Du berechnest den Unterschied der x-Koordinaten in Seemeilen (West-Ost-Richtung):
80 - 46,25 = 33,75 Seemeilen.
Wie fast immer ist der Dreisatz das richtige Werkzeug.
Die Geschwindigkeit des FINNJET in Westrichtung beträgt 15 sm pro Stunde.
15 sm <=> 60 min
1 sm <=> 4 min
33,75 sm <=> 135 min
Der FINNJET ist um 12:15 Uhr im Routenschnittpunkt.
Die ganze Rechnung hättest du natürlich auch mit der Differenz der y-Koorinaten und der Geschwindigkeit in Nord-Süd-Richtung durchziehen können. |
| |
|
| Nr. 4 |
| |
d)
Der FINNJET fährt in einer Stunde 15 sm in Richtung Westen. Die ARKONA in einer Stunde 7,5 sm in Richtung Osten. Gleichzeitig fährt der FINNJET 5 sm in Richtung Süden, während die ARKONA 2,5 sm in Richtung Norden fährt. Der FINNJET hat die doppelten Werte wie die ARKONA, also ist der doppelt so schnell.
e)
Du kannst den FINNJET mit der Maus ziehen. Schau dir an, ob er mit der ARKONA zusammenstößt.
Es sieht so aus als kämen sie gerade so aneinander vorbei. Genaueres lässt sich aber erst nach einer Rechnung sagen.
Doch es lässt sich berechnen, du kennst ja die Geschwindigkeiten in Achsenrichtung. Damit kannst du z.B. ausrechnen, um wie viel Uhr der FINNJET im Routenschnittpunkt ist. |
| |
|
| Nr. 3 |
| |
weiter c)
Die beiden Routen schneiden sich in Position (46.25/28.75). |
| |
|
| Nr. 2 |
| |
weiter c)
Die ARKONA fährt, wenn sie 2,5 Seemeilen in Richtung Osten fährt auch 7,5 Seemeilen in Richtung Norden. Sie bewegt sich in Richtung der Achsen. Es gilt:
|
| |
|
| Nr. 6 |
| |
weiter e)
Die gleiche Rechnung machst du jetzt für die ARKONA.
Die beiden Routen schneiden sich in Position (46.25/28.75). Die ARKONA befindet sich um 10:00 Uhr in Position F(40/10).
Du berechnest den Unterschied der y-Koordinaten in Seemeilen (Nord-Süd-Richtung):
28,75 - 10= 18,75 Seemeilen.
Die Geschwindigkeit der ARKONA in Nordrichtung beträgt 7,5 sm pro Stunde.
7,5 sm <=> 60 min
1 sm <=> 8 min
18,75 sm <=> 150 min
Die Arkona ist erst um 12:30 am Routenschnittpunkt. Eine Viertelstunde früher ist sie noch fast 2 Seemeilen davon entfernt, also nahezu 3,5 km. Es besteht keine Gefahr. Ohne Nebel könnten sich die beiden Schiffe gerade in der Ferne sehen. Außerdem haben beide Schiffe Radar.
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 19:39
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
|
|
|
|
|
Aufgabe 2:
Für den Kauf einer Doppelhaushälfte hat Familie Zingerl insgesamt 80000 Euro Darlehen bei der Sparkasse aufgenommen. Für das erste Darlehen muss Familie Zingerl 5,75% Zinsen bezahlen. Das zweite Darlehen erhält sie zu 5,50% Zinsen. Insgesamt bezahlt die Familie im Jahr 4475 Euro Zinsen.
a) Wie hoch ist die durchschnittliche Belastung durch die Darlehen für die Familie Zingerl im Monat?
b) Berechne die Höhe der beiden Darlehen. Erstelle dazu ein lineares Gleichungssystem.
Lösung einblenden hier... |
| |
a)
4475 : 12 = 372,92
Die durchschnittliche Belastung beträgt 372,92 Euro.
b)
Darlehen1 => x Euro
Darlehen2 => y Euro
|
Das erste Darlehen beträgt 50400 Euro und das zweite Darlehen 29600 Euro.
|
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
