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Algebra mit Spaß lernen
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Immer wilder, die Bilder 1
Abbildungen I - Orthogonale Affinität
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Herzlich willkommen in der 10. Jahrgangsstufe Wahlfachgruppe I (mathematischer Zweig). Na, wie geht es dir? Ich hoffe, du bist gut drauf. Wir wollen uns heute und auf den nächsten Webseiten mit Abbildungen beschäftigen. Du meinst du kennst schon alle? Nein, du kennst noch lange nicht alle. Außerdem wollen wir diejenigen, die du kennst algebraisieren, berechenbar machen. Hier und heute steht die orthogonale Affinität auf dem Programm. Nein, das ist keine Unterleibskrankheit sondern eine Abbildung.
Unten im Arbeitsblatt kannst du mit dem roten Schieberegler den blauen Kantschädel zu einem Flach- bzw. Langschädel machen. Versuche zu verstehen, wie dies Abbildung funktioniert. Nach langem tiefen Nachdenken, darfst du meine Plaudereien rechts im Rand einblenden. |
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| Nr. 1 |
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Hast du erkannt, wie die Bildpunkte erzeugt werden? Zumindest solltest du gesehen haben, dass Urpunkt und Bildpunkt dieselbe x-Koordinate haben.
Wie wirkt der Affinitätsfaktor k auf die y-Koordinate des Urpunktes?
Ändere k und beobachte den Urpunkt P auf [BC] und den Bildpunkt P' auf [B'C'].
Welcher rechnerische Zusammenhang besteht?
Die y-Koordinate des Bildpunktes P' berechnest du mit k*y-Koordinate des Urpunktes.
Lass es mich etwas mathematischer formulieren:
Eine Abbildung heißt orthogonale Affinität (senkrechte Achsenstreckung), wenn jedem Urpunkt P ein Bildpunkt P' so zugeordnet wird, dass gilt:
Der Punkt P0 ist der Fußpunkt des Lotes vom Urpunkt P auf die x-Achse.
Die x-Achse heißt Affinitätsachse (Streckungsachse). |
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| Nr. 5 |
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Für die Koordinaten der Punkte P(x/y) und P'(x'/y') gelten folgende Abbildungsgleichungen:
Kommen wir zu den Eigenschaften der orthogonalen Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse. Überprüfe bitte diese Eigenschaften mit dem Arbeitsblatt. Spiel einfach damit und überzeuge dich, dass es stimmt was ich sage.
Du kannst im Arbeitsblatt folgende Änderungen vornehmen:
Die Punkte A, B, C, D, E, F, G, M1 und M2 kannst du mit der Maus beliebig ziehen. Der Punkt P lässt sich auf der Strecke [BC] bewegen, und den Affinitätsfaktor k kannst du zwischen - 2 und + 2 ändern.
Spiele!
Wenn dir dein Gemälde nicht gefällt, klicke rechts oben auf die ineinander gedrehten, blauen Doppelpfeile. Damit stellst du den Ausgangszustand wieder her.
Gibt es Fixpunkte?
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| Nr. 4 |
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Dann geht alles rückwärts. Du drehst das Dreieck A'''B'''C''' um den Ursprung, diesmal mit einem Drehwinkel +45°, und zuletzt verschiebst du es mit dem Vektor  . Damit hättest du eine Abbildung mit orthogonaler Affinität mit der Geraden y = x + 2 als Affinitätsachse.
Mit 5 Abbildungen hintereinander, deren Abbildungsgleichungen du kennst, bzw. Ende des Schuljahrees kennen wirst, könntest du das Problem lösen.
Leider ist das an der Realschule in Bayern nicht mehr möglich. Als ich vor langer, langer Zeit ein junger Lehrer war, da war es möglich. Und ich habe es mit meinen Schülern auch durchgezogen.
Kommen wir zurück zu unserer simplen, primitiven orthogonalen Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse.
Abbildungsvorschrift:
Jedem Punkt P, der nicht auf der x-Achse liegt, wird ein Punkt P' wiefolgt zugeordnet:
Man fällt vom Punkt P das Lot auf die x-Achse. Der Fußpunkt des Lotes ist der Punkt P0.
Es gilt: |
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| Nr. 3 |
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Du musst dir vorstellen, dass die Gerade g und das Dreieck ABC in einer unverrücklichen Lage zueinander liegen, d.h. wenn du die Gerade g abbildest, hier parallel verschiebst, bildest du auch das Dreieck mit der gleichen Abbildung ab.
Das Bild g' geht jetzt durch den Ursprung und bildet mit der x-Achse einen Winkel von 45°, weil gilt m = tan  = 1.
Wenn du jetzt g' im Uhrzeigersinn mit 45° drehst, dann kommt g' mit der x-Achse zur Deckung, d.h. g' liegt auf der Achse. Die Abbildungsgleichungen für solch eine Drehung lernst du am Ende des Schuljahres. Symbolisch gilt:
Du musst also jeden Punkt des Dreiecks zunächst mit dem Vektor  verschieben und dann um den Ursprung drehen und zwar mit einem Drehwinkel von -45°. Jetzt kannst du die orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse anwenden und das Dreieck A'''B'''C''' berechnen.
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| Nr. 2 |
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Du weißt hoffentlich noch, dass es für jede Abbildung auch eine symbolische Schreibweise gibt, die Schreibweise mit einbem Abbildungspfeil. Bei der orthogonalen Affinität sieht dies so aus:
 Auf dem Abbildungspfeil stehen immer die Kennzeichen der Abbildung, hier die Affinitätsachse und der Affinitätsfaktor k.
Man könnte natürlich jede Gerade zu einer Affinitätsachse machen, aber nicht an der bayerischen Realschule. Es wäre eine interessante Rechnerei. Eigentlich lernst du dieses Jahr alles noch was dazu notwendig wäre.
Nehmen wir an die Affinitätsachse wäre die Gerade g mit y = x + 2 und du sollst ein Dreieck ABC mit dem Affinitätsfaktor k = -0.5 abbilden. Wie müsstest du vorgehen?
Du müsstest die Gerade g und mit ihr das Dreieck ABC parallel verschieben. Du schiebst g nach unten bis g eine Ursprungsgerade ist, d.h. durch den Ursprung geht.
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| Nr. 6 |
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Jeder Punkt auf der x-Achse ist ein Fixpunkt.
Für k = 1 wird jeder Punkt auf sich selbst abgebildet (Identität). Probiere es links aus.
Für k = -1 wird jeder Punkt an der x-Achse gespiegelt. Probiere es ebenfalls aus.
Die Abbildung ist geradentreu, parallelentreu, aber nicht winkeltreu, längentreu und kreistreu.
Für k<0 ändert sich der Umlaufsinn eines Vielecks.
Die x-Achse ist eine Fixpunktgerade.
Geraden, die senkrecht zur x-Achse verlaufen, sind Fixgeraden.
Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen werden auf parallele Geraden abgebildet.
Strecken, die parallel zur x-Achse verlaufen. werden auf parallele, gleich lange Strecken abgebildet.
Hast du links all diese aussagen überprüft? Na gut, dann geht es unter dem Arbeitsblatt weiter.
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Aufgabe 1:
Das Dreieck ABC wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse auf das Dreieck A'B'C' abgebildet.
Es gilt: A(-2 / 2); B(4 / 1); C(0 / 4), A'(-2 / -1,5)
a) Zeichne das Dreieck ABC und den Punkt A'.
b) Berechne den Affinitätsfaktor k.
c) Berechne die Koordinaten der Punkte B' und C'. Zeichne das Dreieck A'B'C'.
d) Berechne die Koordinaten der Fixpunkte der Geraden AC und BC. |
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| Nr. 1 |
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a)
Im Arbeitsblatt links solltest du zunächst nichts änden, bis du die Aufgabe gelöst hast. Danach kannst du damit spielen. Du kannst die Punkte A, B, C mit der Maus versetzen und du kannst den Affinitätsfaktor k zwischen -1,5 und +1,5 verändern.
Den Ausgangszustand erreichst du wieder, wenn auf die beiden blauen Pfeile rechts oben klickst.
b)
Es gilt:
c)
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| Nr. 3 |
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weiter d)
Once again!
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| Nr. 2 |
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weiter c)
So jetzt kannst du mit dem Schieberegler das Dreieck A'B'C' einblenden.
d)
Da alle Punkte der x-Achse Fixpunkte sind, musst du hier die Nullstellen der Geraden AC und BC berechnen.
Unter einer Nullstelle versteht man den Schnittpunkt einer Funktion mit der x-Achse. Hier ist der y-Wert "0".
Du brauchst also die Geradengleichungen der Geraden AC und BC, d.h. du musst jeweils den Steigungsvektor und daraus die Steigung m berechnen. Den y-Achsenabschnitt berechnest du dann, indem du einen Punkt der Geraden in die Gleichung einsetzt. |
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| Nr. 4 |
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weiter d)
Nullstellen mit dem Casio-GTR:
GRAPH-F6-F5-F1 (ROOT)
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Wähle oben mit der Maus neue Punkte A, B, C und einen anderen Affinitätsfaktor und rechne die Aufgabe mit diesen Werten durch. Das kannst du übrigens öfters machen.
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Aufgabe 2:
Bestimme den Affinitätsfaktor k. Es gilt: 
a) g: y = -2x ; g': y = 0.5x
b) g: y = 0,5x +1 ; g': y = -1,5x - 3
c) g: 2x - y - 1 = 0 , g': 4x + y - 2 = 0
d) g: y = 0.75x - 1,5 ; g': y = 1,5x - 3
e) g: y + 1,2x = 0,8 ; g': y = -0,48x + 0,32
Die Lösungen blendest du ein mit Klick auf a, b, c usw.
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a)
Um k zu bestimmen brauchst du einen Ur- und einen zugehörigen Bildpunkt. Beide haben denselben x-Wert. Also wählst du irgendeinen x-Wert und setzt ihn in beide Geradengleichungen ein und berechnest so den zugehörigen y-Wert. Daraus kannst du dann k berechnen.
Am einfachsten wäre es natürlich, wenn du x = 0 wählst, also die y-Achsenabschnitte. Das geht hier aber nicht, weil beide Geraden durch den Ursprung gehen. Sie schneiden sich im Ursprung und ist also ein Fixpunkt.
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Bei Teilaufgabe a) wählst du demnach
x = 1.
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b)
Für x = 0 gilt:
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d)
Für x = 0 gilt:
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c)
Für x = 0 gilt:
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e)
Für x = 0 gilt:
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Aufgabe 3:
Der Graph der Funktion wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsfaktor k auf die Bildgerade g' abgebildet.
Es gilt:
Bestimme die Gleichung der Bildgeraden durch Rechnung.
a) g: y = x + 1; k = 2
b) g: y = 1,5x - 2; k = 
c) g: y =  x + 2; k = 
d) g: x + 2y + 1 = 0; k = 
Die Lösungen blendest du ein mit Klick auf a, b, c usw. |
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a)
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c)
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b)
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d)
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Aufgabe 4:
Ermittle rechnerisch die Gleichung der Bildparabel.
Es gilt: 
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a) p: y = x² - 3 ; k = 0,5
b) p: y = x² + 2x ; k =0,5
c) p: y = - (x - 2)² ; k = 2
d) p: y = 3x² - 12x ; k =  |
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e) p: y = 0.5x² - 2x +3 ; k =2
f) p: y = -0.5(x + 1)² - 5 ; k = 0,5
g) p: y =  x² - 1,25x - 1,4 ; k= -0,6
h) p: 3x² + 2x - y =1 ; k = 
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a)
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g)
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h)
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e)
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d)
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f)
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c)
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b)
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 19:40
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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