|
Geometrie mit Spaß lernen
|
| |
|
|
| |
Geometrie Grundbegriffe 6
Gitternetz (Koordinatensystem) |
|
| |
|
|
| |
Einmal kräftig durchpusten und es geht weiter. Schön das du wieder da bist. Servus, du! Weißt du was du da rechts siehst? Es ist der Ausschnitt aus einer Schatzkarte. Der Weg zum Schatz ist mit Rätseln gepflastert. Doch wie findest du die Lösungen? Die Piraten haben mit Himmelsrichtungen und Schritten gearbeitet.
"Gehe 4 Schritte nach Osten und schau in nördliche Richtung..."
"Gehe vom Hundekopf-Felsen 1000 Schritte nach Süden bis zu dem Wasserfall, wende dich dann nach Osten und gehe 500 Schritte bis zu einer Bergwand. Der Höhleneingang muss in der Nähe sein..."
So haben die Piraten meistens ihre versteckten Schätze wiedergefunden. In der Geometrie brauchen wir auch so eine Piratenlösung. Denn ich möchte dir ja mitteilen, wo genau in der Zeichenebene du einen Punkt hinsetzen sollst. Mit den Angaben im Mathebuch musst du genau einen Punkt in der Zeichenebene finden. Nun gibt es in der Zeichenebene keine Landmarken wie Felsen, Bäume, Wasserfälle, Berge usw. Die Himmelsrichtungen helfen auch nicht viel weiter.
Hilfreich war bisher, wenn du ein kariertes Heft verwendet hast. Im Mathebuch waren die Punkte auf Kästchenpapier gezeichnet. Mit Abzählen der Kästchen ist es dir hoffentlich immer gelungen alle Punkte aus dem Buch richtig in dein Heft zu übertragen. Diese Methode wollen wir jetzt ein wenig weiter entwickeln. Wir legen über die Zeichenebene ein Gitternetz. Auch das Navigationsgerät im Auto deiner Eltern benutzt ein Gitternetz.
Unten im Arbeitsblatt siehst du ein solches Gitternetz. Die Menü- bzw. Werkzeugleiste brauchst du hier nicht. Deswegen habe ich sie auch ausgeblendet. Im Arbeitsblatt weiter unten darfst du dann wieder fleißig zeichnen. Am Rand geht es weiter. Klicke dazu unten auf 1, 2 3, usw. |
|
| |
|
|
| |
| |
| |
|
|
| |
|
|
| |
Lass uns noch einmal ein wenig Zusammenfassung von Wissen betreiben und etwas Neues lernen. |
|
| |
|
|
| |
 |
|
Zwei Punkte legen genau eine Gerade fest.
Eine Gerade hat keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt.
Geraden werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet (g, h, a, b, ...).
A und B sind Elemente der Geraden g:
Man schreibt:  ;  |
| |
Eine Halbgerade (oder einen Strahl) kennst du noch nicht.
Eine Halbgerade hat einen Anfangspunkt, aber keinen Endpunkt.
Man schreibt: [CD |
| |
| Der Begriff Halbgerade ist eigentlich irreführend. Eine Gerade ist unendlich. Was ist die Hälfte vom Unendlichen. Eine Halbgerade ist auch unendlich. Strahl wäre der bessere Begriff. In Bayern heißt es aber nun einmal Halbgerade. |
|
|
|
| |
|
|
| |
Die Gerade ist eine Menge von unendlich vielen Punkten (du erinnerst dich). Die Strecke [EF] ist eine Teilmenge von g.
Man schreibt:  |
|
| |
|
|
| |
So jetzt darfst du wieder GeoGebra zeichnen. Du brauchst aber ein etwas größeres Arbeitsblatt als beim letzten Mal. So ein Arbeitsblatt wie oben ist 570 Pixel breit. Wir brauchen aber 750 Pixel, d.h. das Arbeitsblatt ragt in den rechten Rand hinein. Du musst es an dem roten Balken nach links schieben. Am Rand will ich nämlich meine Plaudereien einblenden. Das machst du wieder, indem du unten auf 1, 2, 3, klickst. |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
| |
|
|
| |
Hier werden die Lösungen eingeblendet! |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 20:03
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
|
|
|
 |
| |
| Nr. 7 |
| |
A (-1 / 3) heißt: Marschiere vom Ursprung aus 1 LE nach links und 3 LE nach oben.
A (3 / -1) heißt: Marschiere vom Ursprung 3 LE nach rechts und 1 LE nach unten.
A (-1 / -3) heißt: Marschiere vom Ursprung 1 LE nach links und 3 LE nach unten.
Was -1 oder -3 für eine Zahl ist, kann ich dir hier noch nicht erklären. Aber es gibt sie. Du zweifelst? Du kennst doch sicher ein Thermometer. Dort werden doch auch Minusgrade angezeigt.
Mit solchen Zahlen kannst du sogar rechnen. Wenn im Winter dein Außenthemometer bei Sonnenaufgang -5 Grad anzeigt und die Temperatur im Laufe des Tages um 4 Grad steigt, welche Temperatur zeigt dann dein Thermometer an? Richtig - 1 Grad.
Mehr davon in der 7. Klasse. Machen wir weiter mit Gitternetz, Punkten, Geraden und Strecken.
|
| |
| |
| Nr. 6 |
| |
Was wird da angezeigt, wenn man A links neben die y-Achse oder unter die x-Achse zieht?
Du hast doch gelernt, dass die Zeichenebene unendlich ist. Sie existiert also auch links von der y-Achse und unter der x-Achse. Wir benutzen sie aber dort noch nicht. Was dort geschieht, lernst du erst in der 7. Klasse. Es tut mir leid dich vertröstren zu müssen.
In unserem Gitternetz = Koordinatensystem gibt es vermintes Gebiet, dass du erst in 6.Klasse betreten darfst. Und jetzt das. Aber es geht eben nun mal nur Schritt für Schritt.
Du willst aber trotzdem wissen was A (-1 / 3) bedeutet. Ok, ich erklär's dir. Du kannst es aber hinter her wieder vergessen.
Rechts von der y-Achse musst du vom Ursprung aus nach rechts gehen. Links von der y-Achse musst du aber nach links gehen. Das muss man unterscheiden können.
|
| |
|
| Nr. 5 |
| |
Den x-Wert und den y-Wert eines Punktes nennt man auch die Koordinaten des Punktes.
Mein Punkt A (5 / 3) hat also die x-Koordinate 5 und die y-Koordinate 3.
Das Gitternetz heißt auch Koordinatensystem.
Aufgabe 1:
Ziehe die Punkte oben am Rand mit der Maus auf folgende Koordinaten.
B (1 / 3); C (3 / 7);
D (0 / 6); E (4 / 5);
F (6 / 4); G (8 / 6);
H (6 / 8 )
Wenn du richtig liegst wirst du es schon merken!
Was wird da angezeigt, wenn man A links neben die y-Achse oder unter die x-Achse zieht?
|
| |
|
| Nr. 4 |
| |
Für meinen Punkt A gilt:
A (5 / 3)
Ein Punkt wird im Gitternetz durch ein geordnetes Zahlenpaar festgelegt.
Was heißt hier "geordnet"? Wo ist hier eine Ordnung?
Die Ordnung liegt darin, dass an der 1.Stelle oben im Zahlenpaar immer der x-Wert steht und an der 2.Stelle immer der y-Wert. Wenn das nicht so wäre, würden wie vermutlich ständig aneinander vorbeireden.
Üblicherweise verwenden wir als Längeneinheit (LE) 1 cm.
Aber auch andere Werte, z.f. 1 Kästchen, 2 cm usw. sind möglich.
So und jetzt kommen wir zu den Punkten oben am Rand. Was du damit machen sollst liest du in Nr. 5 nach. |
| |
|
| Nr. 3 |
| |
Setze den Punkt A mit der Maus einmal auf andere Gitterpunkte und formuliere eine Marschanweisung, wie du vom Ursprung dorthin kommst.
Falls du den Punkt A zwischen die Gitterpunkte setzt, passen die Angaben nicht mehr. Es wird der Gitterpunkt angezeigt, der dem Punkt A am nächsten ist.
Ich habe dir doch gesagt, dort ist vermintes Gebiet. Der Punkt A zittert vor Angst. Er möchte zum nächsten sicheren Gitterpunkt.
Ein Punkt wird im Gitternetz durch ein geordnetes Zahlenpaar festgelegt.
Der Punkt A hat den x-Wert (Rechtswert) 5 und den y-Wert (Hochwert) 3.
Man schreibt: A (5 / 3) |
| |
|
| Nr. 2 |
| |
Sowohl die x-Achse als auch die y-Achse tragen Pfeilspitzen entsprechend der Marschrichtung. Welcher Marschrichtung? Stell dir vor, du seist ein kleines Mini-Menschlein und könntest im Gitternetz spazieren gehen. Du kannst aber nur entlang der Gitterlinien marschieren. Der Raum dazwischen ist vermintes Gebiet. Noch! Schon in der 6. Klasse werden wir die Minen gemeinsam räumen.
Du stehst also im Ursprung und sollst zu meinem Punkt A marschieren. Die Marschanweisung ist:
Gehe 5 LE (Längeneinheiten) in Richtung der x-Achse und dann 3 LE in Richtung der y-Achse.
Kürzer: A (5 / 3)
Die Herren Mathematiker sind bequeme Menschen, die wollen alles kurz und bündig haben.
A (5 / 3) ist doch verständlich. Oderrr? |
| |
|
| Nr. 1 |
| |
Ein Gitternetz besteht aus zwei Geraden, die aufeinander senkrecht stehen. Den gemeinsamen Schnittpunkt nennt man Anfangspunkt oder Ursprung.
Und schon haben wir ein Problem. Eine Gerade hat doch keinen Anfangs- und keinen Endpunkt. Oder? Nein, natürlich Geraden sind unendlich. Anfangspunkt oder besser Ursprung heißt: Ab hier beginnen wir abzuzählen. Was wir abzählen sind Schritte (= Längeneinheiten). In unserem Gitternetz gibt es nur zwei Richtungen: Rechts und Hoch.
Deswegen heißt unsere waagrechte Gerade auch Rechtswertachse oder besser x-Achse. Und die senkrechte Gerade heißt Hochwertachse oder besser y-Achse.
Vom Ursprung aus sind die Achsen gleichmäßig in Längeneinheiten (LE) eingeteilt. Die Anzahl der Längeneinheiten steht an den Achsen. |
| |
|
|
| Nr. 10 |
| |
E(5/9)
F(5/6)
S(5/12)
|
|
Die drei Punkte haben dieselbe x-Koordinate. Was heißt das?
Alle Punkte auf einer Parallelen zur zur y-Achse haben dieselbe x-Koordinate.
Wie ist das bei einer Parallelen zur x-Achse z.B. mit der zur x-Achse parellelen Halbgeraden [AB?
Studiere die Koordinaten der Punkte A, B, C, D. |
| |
A(3/12)
B(9/12)
C(12/12)
D(11/12)
|
| |
Die drei Punkte haben dieselbe y-Koordinate. Was heißt das?
Alle Punkte auf einer Parallelen zur x-Achse haben dieselben y-Koodinaten.
Die Halbgerade [AB und die Gerade EF verlaufen jetzt entlang der Gitterlinien. Sie stehen senkrecht aufeinander.
Auf Seite 7 werden wir uns mit Senkrechten und Parallelen weiter beschäftigen. Es gibt nämlich auch Senkrechte und Parallelen, die nicht auf den Gitterlinien liegen. Bis Morgen! Tschüß. |
| |
|
| Nr. 9 |
| |
Wenn du die Beschriftung einschaltest, sollte der Schnittpunkt eigentlich G heißen. GeoGebra benennt nämlich die Punkte der Reihe nach alphabetisch. Aber du weißt ja, mit Rechtsklick kannst du ein Objekt umbenennen. Also nenne ihn S.
Jetzt sollte dein Arbeitsblatt eigentlich aussehen, wie meine Lösung unten. Wenn du die Lösung einblendest, siehst du nur einen Scan, ein Bild, von meinem Arbeitsblatt. Es ist kein wirkliches Arbeitsblatt.
Lösung einblenden hier...
Lösung ausblenden hier... |
|
Der Punkt S lässt sich mit Maus nicht bewegen. Er hängt von der Halbgeraden [AB und der Geraden EF ab. Aber er bewegt sich mit, wenn du z.B. den Punkt F verlegst. Ziehe den Punkt F direkt unter den Punkt E auf die Koordinaten (5/6).
Du siehst wie der Schnittpunkt mitwandert.
Jetzt liegt die Gerade EF auf einer Gitterlinie, sie zur y-Achse parallel. Dass die Punkte E, F, S auf einer Parallelen zur y-Achse liegen, lässt sich schon an den Punktkoordinaten erkennen. Du brauchst die Gerade gar nicht zeichen.
Wie kannst du das an den Punktkoordinaten erkennen? |
| |
|
| Nr. 8 |
| |
Du weißt doch noch, wie du die Koordinaten eines Punktes ablesen musst? Du marschierst vom Ursprung soweit nach rechts bis du genau unter dem Punkt bist, der Punkt ist senkrecht über dir. Dann marschierst du senkrecht nach oben, immer entlang der Gitterlinien. Du zählst die Längeneinheiten. Welche Koordinaten liest du nun für den Schnittpunkt S ab?
Lösung hier... |
|
| |
| |
| zu b) |
|
| Wenn du so einen Schnittpunkt markierst, kannst du keinen freien Punkt verwenden. Denn der Schnittpunkt muss auch erhalten bleiben, wenn du die Halbgerade [AB oder die Gerade EF bewegst. Der Schnittpunkt muss sich mitbewegen Du brauchst das Werkzeug Schneide zwei Objekte. |
|
 |
| |
| Du klickst [AB an und dann [EF] oder auch umgekehrt. Der Schnittpunkt wird eingezeichnet. |
| |
|
| Nr. 7 |
| |
zu 4b) |
| |
Wenn du den Punkt D auf die Halbgerade [AB ziehst, gilt geometrisch auch:
|
| |
|
| |
Doch D ist in GeoGebra ein freier Punkt und du kannst ihn dort auch wieder wegziehen. Ziehst du ihn weg, dann gilt: |
| |
|
| |
Aufgabe 5:
Füge in die Zeichnung links die Punkte E(5/9) und F(4/6) ein und zeichne die Gerade EF.
a) Die Gerade EF schneidet die Halbgerade [AB, d.h. geht durch die Halbgerade [EF hindurch. Lese die Koordinaten (x-Wert und y-Wert) des Schnittpunktes S aus der Zeichnung ab.
b) Markiere den Schnittpunkt und nenne in ihn S um. (Punktgröße 5, Farbe: violett)
zu a)
Um eine Gerade zu zeichnen, brauchst du das Werkzeug Gerade durch zwei Punkte. Such nur danach. |
| |
|
| Nr. 6 |
| |
zu 4a) |
| |
Der Punkt C lässt sich, im Gegensatz zu A und B, nicht frei im Gitternetz bewegen. Er lässt sich nur auf der Halbgeraden [AB hin und her bewegen.
Wenn du einen Punkt auf eine Gerade, Halbgerade, Strecke oder Kreislinie setzt, erzeugst du einen abhängigen Punkt. Er lässt sich nur auf seiner Linie bewegen.
Punkte die sich nur auf einer Linie bewegen lassen erleichtern das Arbeiten.
Lass uns ein wenig die Mengenschreibweise üben. Lies jeweils laut vor:
|
| |
|
| |
lies: A ist Element der Halbgeraden [AB.
Weiter gilt: |
| |
|
| |
| lies z.B.: Die Strecke [AB] ist Teilmenge der Halbgeraden [AB. |
| |
|
| Nr. 5 |
| |
Um eine Halbgerade zu zeichnen, brauchst du das Werkzeug Strahl durch zwei Punkte. |
| |
|
| |
 |
| |
Klicke zuerst A an und dann B. Du bekommst die Halbgerade [AB. Bitte lösche sie noch einmal. Mit der rechten Maustaste anklicken und Löschen wählen. Wähle wieder das Werkzeug Strahl duch zwei Punkte. Du bekommst die Halbgerade [BA.
Der erste Punkt, den du mit diesem Werkzeug anklickst, ist also der Anfangspunkt der Halbgeraden.
Du brauchst aber die Halbgerade [AB mit den von der Aufgabe geforderten Eigenschaften. Auch hier muss ich sagen, wenn du es nicht kannst, gehe zurück zu Seite 5. |
| |
| |
|
| Nr. 4 |
| |
Du musst deiner Datei einen Namen geben.
So nachdem du deinen Tannenbaum gespeichert hast, kannst du ihn löschen. Klicke auf die beiden blauen Pfeile rechts oben im Arbeitsblatt.
Aufgabe 4:
Gegeben sind die Punkte
A(3/12), B(9/12). Zeichne die Halbgerade [AB (= Strahl [AB]).
Die Halbgerade [AB soll die Linienstärke 7 und die Punktgröße 5 haben. Die Punkte sollen als farbige Punkte dargestellt werden und nicht als farbige Kreuze. Wähle rote Farbe. Für die Halbgerade wählst du blau. |
| |
a) Setze einen Punkt C(11/12) auf die Halbgerade.
Punktgröße 5, Farbe: dunkelgelb.
Versuche dann den Punkt C mit der Maus zu ziehen. Was passiert und warum passiert es?
b) Zeichne den Punkt D(11/8) ein.
Punktgröße 5, Farbe: rot
Ziehe den Punkt D auf die Position (12/12).
Lässt sich von dort wieder wegziehen? Was ist der Unterschied zu Punkt D?
|
| |
|
| Nr. 3 |
| |
Bevor ich dir die nächste Aufgabe stelle, will ich dir zeigen wie du deine Arbeit speichern kannst. Ist doch schade, wenn alle deinen schönen Zeichnungen verloren sind.
1. Du öffnest in der Menüleiste das Menü "DATEI".
|
| |
Hier hast du 3 Möglichkeiten zum Speichern: Speichern - Speichern unter... - Export.
2. Du musst "Speichern unter..." wählen.
Wenn du "Speichern" wählst, weißt du nicht wohin du gespeichert hast. Du findest deine GeoGebra-Datei nicht wieder. Und "Export" ist noch zu schwer für dich.
Am Besten ist es, wenn du die ersten Speicherungen zusammen mit deinem Lehrer oder Mama/Papa vornimmst.
Das Fenster Speichern (mit Windows) macht auf. Dort musst du dich zu dem Verzeichnis hinklicken, in dem du speichern willst. |
| |
|
| Nr. 2 |
| |
Aufgabe 3:
Trage die folgenden Punkte in das Gitternetz ein:
A(6/1), B(8/1), C(8/4),
D(13/4), E(8/6), F(12/6),
G(8/8), H(11/8), I(7/11),
J(3/8), K(6/8), L(2/6);
M(6/6), N(1/4), O(6/4)
Verbinde die Punkte in der Reihenfolge A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, A zu einer Figur. |
| |
Wenn du fertig bist, schaust du dir meine Lösung an und gestaltest dann deine Zeichnung so wie ich es getan habe. Ich habe die größte Linienstärke und Punktgröße gewählt.
Hinweis: Wenn du einmal eine Farbe ausgewählt hast, erscheint sie rechts in der kleinen Farbtafel neben der großen Farbtafel. Dort kannst du sie immer wieder auswählen.
Wenn du das jetzt nicht verstanden hast, must du die Seite 5 noch einmal durcharbeiten!
Lösung einblenden hier...
Die Lösung wird unter dem Arbeitsblatt eingeblendet und ist kein Arbeitsblatt, sondern nur ein Bild.
Lösung ausblenden hier... |
| |
|
| Nr. 1 |
| |
Aufgabe 2:
Trage die folgenden Punkte in das Gitternetz ein:
A(2/1), B(10/1), C(10/3),
D(4/3), E(4/6), F(8/6),
G(8/8), H(4/8),
I(4/11), J(10/11), K(10/13), L(2/13)
Verbinde die Punkte in der Reihenfolge A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, A zu einer Figur. |
| |
Mit welchen Werkzeugen du Punkte und Strecken zeichnest, das weißt du hoffentlich noch. Wenn nicht, dann gehst du bitteschön zurück auf die Seite 5 und lernst es dort. Ich habe keine Lust, wie in einer Zeitschleife gefangen, immer wieder von vorne anzufangen. Was ich in einer Lerneinheit schon einmal gezeigt habe, bringe ich nicht noch einmal. Das ist für dich unbequem? Ja, soll es auch sein.
Wenn du die Lösung einblendest, dann sind Punkte und Strecken so, wie sie GeoGebra erzeugt hat. Wie man die Eigenschaften ändert, findest du auch auf Seite 5.
Lösung einblenden hier...
Die Lösung wird unter dem Arbeitsblatt eingeblendet und ist kein Arbeitsblatt, sondern nur ein Bild.
Lösung ausblenden hier... |
| |
|
|
| |
|
