Du kannst die Flächenformel für ein Trapez herleiten, indem du das Trapez in zwei Dreiecke zerlegst. Du musst das Trapez entlang einer Digonalen zerlegen. Siehe links das Arbeitsblatt.

Mit der Maus kannst du die beiden parallelen Grundseiten a und c bewegen. Außerdem kannmst du mit der Maus die 4 Eckpunkte ziehen. Dabei bleiben die Trapezeigenschaften erhalten. Probiere es aus. Den Ausgangszustand stellst du wieder her, wenn du im Arbeitsblatt rechts oben auf "Aktualisieren" klickst (blaue Doppelpfeile).

Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt demnach:

wobei a und c die beiden parallelen Grundseiten sind.

Bei der nachfolgenden Aufgabe kontrolrlie deine Ergebnisse mit Hilfe des Arbeitsblattes indem du es auf die gegebenen maße einstellst.

Aufgabe 1:

Berechne die fehlende Größe in folgenden Trapezen. Die zu berechnende Größe steht in Klammern hinter der Aufgabenstellung.

a) a = 6 cm; c = 4,6 cm;
h = 1,8 cm

Um die Einstellungen gemäß den obigen Maßen vorzunehmen, musst du die Punkte C und D bewegen als auch die beiden parallelen Grundseiten. Es geht, ich habe es ausprobiert. Manchmal musst du von beiden Seiten bewegen um den genauen Wert einzustellen.

b) a = 2,4 cm; c = 3,5 cm;
A = 5,01 cm²

Erzeuge ein Trapez, bei dem der Punkt B weiter rechts als der Punkt C liegt. Sonst produziert das Arbeitsblatt Unsinn. Glaube mir, es geht!

c) a = 9,5 cm; c = 4,5 cm;
A = 28,69 cm²

d) a = 2*c; c = 4,6 cm;
h = 4 cm

Im Arbeitsblatt links kannst du den roten Punkt A mit der Maus ziehen. Damit ändert sich die Grundseite a, aber auch die Grundseite c. Der Umfang des Trapezes ändert sich aber nicht. Probiere es aus.

Du kannst die Aufgabe mit dem Arbeitsblatt lösen. Bedenke aber dabei, dass in der Aufgabenstellung der Flächeninhalt auf eine Kommastelle genau angegeben ist, im Arbeitsblatt aber auf 2 Kommastellen.

Den Punkt A so zu ziehen, dass der Flächeninhalt A = 52,50 m² beträgt, wird dir nicht gelingen. Dafür ist der von mir gewählte Maßstabe für das Arbeitsblatt zu unempfindlich. Aber vielleicht hast du ja ein feineres Händchen als ich.

Nichtsdestotrotz ist von dir auch eine rechnerische Lösung gefordert.

Die entscheidende Lösungsidee ist, dass du zwar nicht weißt, welche Länge die Grundseiten a und c einzeln haben, aber du kannst dir ausrechnen, was (a + c) ist.

Umfang - 2 * Schenkellänge = (a + c)

(a + c) = 33,5 m - 2*6,25 m

(a + c) = 21 m

damit gilt mit Anwendung der Flächenformel:

52,5 = 0,5 * 21 * h

52,5 =10,5 * h | : 10,5

h = 5 m

Achtung! Bei mir darfst du nur mit Maßzahlen rechnen. Doch zumindest im Endergebnis musst die Größe angeben.

Doch nicht jeder Lehrer hält das so.

Die Aufgabe ist damit gelöst, doch nicht all die Aufgaben, die das Arbeitsblatt noch so aufgibt.

Wenn du den Punkt A bewegst, siehst du, wie sich die Höhe und der Flächeninhalt ändern.

Aufgabe 3:

Der Flächeninhalt des Trapezes hat einen Maximalwert. Welchen? Wie lang sind in diesem Fall a, c und h?

Der größtmögliche Wert den die Höhe h annehmen kann, ist 6,25 m. Warum? Hirn einschalten bitte! Die Schenkel des Trapezes sind mit 6,25 m ausgewachsen. Da könnte nur eine Operation helfen. Bei einer Höhe h über 6,25 m verliert das Trapez den Boden unter den Füßen. Es löst sich auf.

6,25 m sind also die Obergrenze für h. Dann aber ist die Höhe h parallel zu den Schenkeln, d.h. das Trapez ist ein Rechteck.

Auch in diesem Rechteck gilt:

u = 33,5 m

Die Umfangsformel im Rechteck lautet:

u = 2*a + 2*b

33,5 = 2*a + 2*6,25

33,5 = 2a + 12,5 | - 12,5

21 = 2a | : 2

a = c = 10,5 m

=> A_max = 10,5 * 6,25

A_max = 65,625 m²