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Geometrie mit Spaß lernen
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Flächen, Formeln und andere Plattheiten 4
Flächeninhalt ebener Vielecke - Übungen
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Na du! Wie bist du heute drauf? Heute will ich mal sehen, wie gut du die Formeln beherrscht und wie gut du Gleichungen lösen kannst. Und das Tolle ist, du musst sie vorher auch noch selber aufstellen. Selbstverständlich darfst du dir zu den ersten Aufgaben auch Zeichnungen machen, aber eigentlich brauchst du sie nicht. Es gibt aber auch noch ein paar "einfache" Rechenaufgaben.
Aufgabe 1:
Ein Trapez mit der Höhe h = 6 cm und der Grundlinie a = 7 cm hat den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat über der Mittellinie. Wie lang ist die zweite Grundseite c?
Lösung einblenden hier... |
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eine Trapezfläche = eine Quadratfläche => 0,5(a +c)*h = m²
mit m = 0,5(a + c) gilt:
0,5(a + c)*h = [0,5(a + c)]² | h = 6 und a = 7 eingesetzt (nur Maßzahlen!)
0,5(7 + c)*6 =[0,5(7 + c)]²
3(7 + c) = 0,25 (7 + c)² | : (7 + c)
3 = 0,25 (7 + c) | *4
12 = 7 + c | - 7
5 = c => c = 5 cm |
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Aufgabe 2:
Berechne den Flächeninhalt.
Mit Mausklick auf die Abbildung kannst du die Lösungsidee einblenden. Wesentlich besser ist es aber, wenn du durch tiefes, tiefes Nachdenken selber eine Lösungidee finden würdest.
Lösung einblenden hier... |
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Tja, du siehst zunächst nur die Quadrate, doch du solltest besser sehen, was bei 4 Quadraten herausgeschnitten ist. Es ist jeweils ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Kathetenlänge von 12 cm. Aus wie vielen solchen Dreiecken besteht ein Quadrat?
Es sind 3 * 4 + 4 = 16 solche Dreiecke. Für ein Dreieck gilt:
A = 0,5 a² = 0,5 * 12² = 72 cm²
Agesamt = 16 * 72 = 1152 cm² |
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Aufgabe 3:
Die Diagonalen eines 96 cm² großen Drachen verhalten sich wie 3 : 4. Berechne ihre Längen,
Lösung einblenden hier... |
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Was heißt das "sie verhalten sich wie 3 : 4"? => e : f = 3 : 4
So eine Verhältnisgleichung löst du auf indem du die Innenglieder und die Außenglieder miteinander multiplizierst. Es gilt also: 4e = 3f | : 4 => e = 0,75 f
Für den Flächeninhalt gilt demnach : A = 0,5 * e * f = 0,5 * 0,75f * f = 0,375 * f²
Wenn du den Flächeninhalt einsetzt, bekommst du folgende Gleichung:
96 = 0,375 * f² | : 0,375
256 = f² => f = 16 cm und e = 12 cm |
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Aufgabe 4:
In einem gleichschenkligen Trapez ist eine Grundlinie dreimal so lang wie die andere, die Höhe ist genauso lang wie die kürzere Grundlinie.
a) Berechne die Längen der Grundlinien bei einem Flächeninhalt von 128 cm².
b) Berechne den Flächeninhalt, wenn die Schenkellänge 10 cm beträgt.
Wenn du unten auf die Abbildung klickst, bekommst du einen Hinweis. |
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| Nr. 1 |
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a) Du zerlegst das Trapez in 4 gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke mit der Kathetenlänge c.
Es gilt: a = 3c und h = c
=> A = 0,5 (3c + c) * c = 2c²
=> 128 = 2c² | : 2 => c² = 64
=> c = 8 cm und a = 24 cm |
| Nr. 2 |
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b) Der Flächeninhalt eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks beträgt auch:
A = 0,25 * Hypotenuse² =>
A = 0,25 * 10² = 25 cm²
4 solche Dreiecke hast du, also gilt für den Flächeninhalt des Trapezes:
A = 100 cm² |
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Aufgabe 5:
Ein Dreieck mit der Grundlinie c = 15 cm und der Höhe hc hat den gleichen
Flächeninhalt wie ein Quadrat mit der Diagonalenlänge d = 12 cm.
a) Berechne die Höhe hc des Dreiecks.
b) Ein Parallelogramm mit gleichem Flächeninhalt hat eine Höhe von 8 cm und einen Umfang von 32 cm. Berechne seine Seitenlängen.
c) In einem Trapez mit gleichem Flächeninhalt und der Höhe 6 cm ist eine Grundseite doppelt so lang wie die andere. Berechne die Längen der Grundseiten. |
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| Nr. 1 |
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a) Für alle 3 Teilaufgaben musst den Flächeninhalt des Quadrats kennen. So ein Quadrat kannst du in 2 gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Hier kennst du die Hypotenuse, also benutzt du folgende Flächenformel:
A = 0,25 * c² = 0,25 * 12² = 36 cm² (Beim Endergebnis musst du die Größe angeben!)
für das Quadrat gilt also: A = 2 * 36 = 72 cm²
Mit ADreieck = 0,5 * c * hc gilt:
72 = 0,5 * 15 * hc => 72 = 7,5 * hc | : 7,5 => hc = 9,6 cm |
| Nr. 2 |
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b) Im Parallelogramm gilt für den Umfang:
u = 2 (a + b) => 32 = 2 (a + b) | : 2 => a + b = 16 | - a => b = 16 - a
Du musst dich entscheiden, ob die angegebene Höhe h = 6 cm die Höhe ha oder die Höhe hb ist. Interpretierst du h als ha, dann gilt wegen der Flächenformel des Parallelogramms:
72 = a * 8 | : 8 => a = 9 cm und b = 7 cm
Interpretierst du h als hb, dann gilt: b = 9 cm und a = 7 cm.
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| Nr. 3 |
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c) Für die Grundseiten a und c gilt z.B.: a = 2c
In die Trapezformel eingesetzt gilt:
72 = 0,5 (2c + c) * 6 => 72 = 9c | : 9 => c = 8 cm und a = 16 cm
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Kennst du noch die Flächenformel für den Kreis?
A = r² * 3,14 |
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Diese Flächenformel brauchst du jetzt.
Aufgabe 6:
Einem Kreis mit 50 cm Durchmesser wird ein Quadrat einbeschrieben. Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt des Kreises größer?
Lösung einblenden hier... |
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AKreis = 25² * 3,14 = 1962,5 cm²
Für den Flächeninhalt des Quadrats brauchst du wieder die Spezialformel für das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck, wenn die Hypotenuse gegeben ist.
ADreieck = 0,25 * c² =0,25 * 50² = 625 cm²
AQuadrat = 2 * 625 cm² = 1250 cm²
Für die Prozentrechnung gilt: AQuadrat <=> 100%
Ich empfehle ausschließlich den Dreisatz:
100% <=> 1250 cm²
1 % <=> 12,5 cm²
x % <=> 1962,5 cm²
NR: 1962,5 : 12,5 = 157
157 % <=> 1962,5 cm²
Der Flächeninhalt des Kreises ist um 57 % größer als der Flächeninhalt des Quadrats. |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 20:04
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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