Die Lösungsidee ist: Du ziehst vom Flächeninhalt des Rechtecks die Dreiecksflächen ab. Wobei die rechtwinkligen Dreiecke paarweise kongruent sind.

Flächeninhalt des Rechtecks:

A = a*b = 12*7 = 84 cm²

Flächeninhalt kleines Dreieck:

A = 0,5*a*b

A = 0,5*(7-3)*3= 6 cm²

Flächeninhalt großes Dreieck:

A = 0,5*(12-3)*3= 13,5 cm²

Flächeninhalt von P₁Q₁R₁S₁:

A = 84 - (2*6 + 2*13,5)

A = 84 - 39 = 45 cm²

Erkennst du den Rechenweg? Überall wo die 3 steht, dort steht später x!

weiter f)

Der zugehörige x-Wert zu y=42 ist x=3,5.

Nun haben Wertetabellen von quadratischen Termen die Eigenschaft symmetrisch zu sein, d.h. bis auf den Extremwert kommt jeder y-Wert zweimal vor. Scrolle in deiner Wertetabelle noch weiter nach unten bis du den x-Wert x=6 erreichst. Auch hier ist der zugehörige y-Wert y=42. Es gibt also 2 Lösungen.

Statt einer Rechnung hast du jetzt mit dem GTR gearbeitet. Das musst du dokumentieren, dann gilt es soviel wie eine Rechnung. Du schreibst:

TABL y=2x²-19x+84 F6

=> x₁=3,5 und x₂=6

Weißt du eigentlich was du hier gemacht hast? Du hast eine quadratische Gleichung gelöst und zwar die Gleichung:

42 = 2x²-19x+84

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Dann stellst du noch den pitch ein, das ist die Schrittweite in deiner Wertetabelle.

weiter f)

Aus dem Untermenü kommst du mit EXE oder mit EXIT eine Menüebene höher, also wieder zurück.

Jetzt tippst du den quadratischen Term aus der angegebenen Lösung ein.

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Du kannst jede Gleichung auch mit einer Wertetabelle lösen. Das ist systematisches Ausprobieren. Und besonders schnell geht es mit dem graphischen Taschenrechner. Danach erzähl ich dir noch von einem 2. Lösungsweg ohne GTR. Ojne GTR ist diese Teilaufgabe zu diesem Zeitpunkt aber eine echte Einserbremse.

Du wählst im Hauptmenü deines Casio CFX-9850GC PLUS, von jetzt an nur noch GTR genannt, den Menüpunkt TABLE. Der Casio wird an meiner Schule verwendet. Mit anderen graphischen Taschenrechnern kannst du es natürlich auch machen. Doch ich erkläre auf meinen Seiten nur den Casio.

weiter f)

Das gesuchte Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von 42 cm².

In der 10. Klasse bzw. für 9. Klasse Wahlfachgruppe I noch in der 9. Klasse ist diese Aufgabe überhaupt kein Problem. Du müsstest folgende Gleichung lösen:

2x² - 19x + 84 = 42

Für diese quadratische Gleichung hast du dann als Werkzeug eine Lösungsformel zur Verfügung. Oder du kannst sie von deinem graphischen Taschenrechner lösen lassen. Aber hier, hier geht das noch nicht.

Du brauchst eine Idee. Du sagst, du hast ja mein Arbeitsblatt und siehst, dass x = 3,5 sein muss. Du setzt es in die Lösung von Teilaufgabe d) und zeigst, dass 42 cm² rauskommt.

Alles schön und gut, aber was machst du ohne mein Arbeitsblatt?

Grundsätzlich ist ausprobieren nicht schlecht, aber zu Fuß viel zu zeitraubend.

Mit deinem Taschenrechner kannst du Wertetabellen erzeugen, auch für quadratische Terme.

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mit => b = 4,75 gilt:

2[x²+9,5x+4,75²-4,75²]+84 =

2[(x²+9,5x+4,75²)-4,75²]+84=

2[(x+4,75)²-22,5625]+84=

3. Schritt:

Wir lösen die eckige Klammer auf.

2 (x+4,75)² - 45,125 + 84 =

2 (x + 4,75)² + 38,875

Du rundest auf 2 Stellen! Es ist übrigens ein Minimum, weil der Faktor vor dem Quadrat positiv ist. Du addierst immer etwas zu 38,875, außer der Wert der Klammer ist 0.

A_min = 38,88 cm²

für x = - 4,75

f)

Suche die Lösung erst einmal im Arbeitsblatt.

e)

1. Schritt:

Du klammerst den Faktor bei x² aus. Am wenigsten Schwierigkeiten hast du, wenn du diesen Faktor nur aus den beiden Teiltermen mit x ausklammerst. Du brauchst dir dann um die konstante Zahl hinten keine Gedanken machen.

2x² - 19x + 84 =

2 [x² - 9,5x] + 84 =

2. Schritt:

Jetzt musst du in der eckigen Klammer quadratisch ergänzen, d.h. du addierst ein Quadrat und ziehst es gleichzeitig wieder ab. Du änderst so eigentlich am Term nichts. Quadratisch ergänzen heißt: du machst den Term x²+9,5x zu einem vollständigen Quadrat, so dass du die erste oder zweite Bionomische Formel anwenden kannst. Hier ist es die erste. Es gilt:

a² = x² => a = x

2ab = 9,5x = 2*x*4,75

=> b = 4,75

weiter d)

Für die Parallelogramme gilt:

A = 84-[(7x-x²)+(12x-x²)]

A = 84-[7x-x²+12x-x²]

A = 84 - [19x - 2x²]

A = 84 - 19x + 2x²

Achtung! Bei den allermeisten LehrerInnen musst du deine Lösung auf die Form der angegebenen Lösung bringen, sonst droht dir Punktabzug!

Hier musst du also noch umsortieren.

A = (2x² - 19x + 84) cm²

Zumindest im Endergebnis musst du auch die Größe cm² angeben. Und weil diese Größe cm² sich auf den gesamten Term bezieht, musst du den Term im Endergebnis in Klammern setzen. Setzt du keine Klammer bezieht sich cm² nur auf die 84.

Alles klar? Auf zur Extremwertbestimmung!

c)

Die kleinere Rechteckseite begrenzt den Wert für x.

0 < x < 7

d)

Gemäß Lösungsidee aus Teilaufgabe b) gilt für den Flächeninhalt des kleineren Dreiecks:

A = 0,5*(7-x)*x

A = 0,5*(7x - x²)

Beide kleineren Dreiecke haben also den Flächeninhalt:

A = 2*0,5*(7x - x²)

A = (7x - x²)

Für den Flächeninhalt von 2 größeren Dreiecken gilt ähnlich:

A = 2*0,5*(12 - x)*x

A = (12x - x²)

Für die Parallelogramme gilt:

A = 84-[(7x-x²)+(12x-x²)]

weiter f)

Doch wie kommst du auf die beiden Lösungen ohne GTR?

Ohne dynamisches Arbeitsblatt oder ohne GTR kommst du eigentlich gar nicht drauf. Es gibt eine Modellvorstellung, die vielleicht hilfreich ist.

Wenn du dir vorstellst, dass du die Dreiecke vom Rechteck abschneidest, dann kannst du jeweils zwei zu einem Rechteck zusammenfügen. Wenn es dir gelingt alle vier Dreiecke zu einem Rechteck zusammenzupuzzeln, das halb so groß wie das ursprüngliche Rechteck ist, hast du den richtigen x-Wert gewählt.

Ein halbes ursprüngliches Rechteck erhältst du, wenn du das Rechteck entlang einer Mittellinie zerschneidest. Entweder hat dein halbes Rechteck dann die Seitenlängen a=3,5 cm und b=8,5 cm oder a=6 cm und b=7cm.

Aus diesen Werten kannst du jetzt auf die x-Werte x=3,5 und x=6 schließen. Du müsstest sie jetzt noch in die Lösung von Teilaufgabe d) einsetzen und die zugehörge Fläche ausrechnen. Vergiss es!

a)

Mache dir die Zeichnung verständlich, indem du den roten Punkt mit der Maus bewegst. Wie weit kannst du ihn ziehen? Aus welchem Grund kannst du ihn nicht nach B ziehen?

Stelle ihn auf das gewünschte Beispiel. Ehe du weiter liest, solltest du es erst einmal selber versuchen und schauen, ob du auf das angebene Ergebnis kommst. Nur wer das Schitzel selber ißt, wird satt.

b)

Du sollst den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen. Du denkst an die Flächenformel für das Parallelogramm. Aber was ist? "Denkste" ist. Sie nutzt dir hier nichts. Überlege dir, was du überhaupt mit den angegebenen Maßen in der Figur berechnen kannst, selbstverständlich den Flächeninhalt des Rechtecks. Weiter gibt es 4 rechtwinklige Dreiecke, deren Katheten du kennst bzw. berechnen kannst. Also versuch' es.

a)

Auch wenn es nur 3 Teilaufgaben sind, so ist doch der Ablauf der Aufgabe wie gewohnt. Du zeichnest ein Beispiel und berechnest es. Damit hast du dir auch den Lösungsweg für Teilaufgabe c) erarbeitet. Ziehe mit der Maus links den roten Punkt hin und her, damit du ein Verständnis für die Aufgabe entwickelst. Dann stellst du den Punkt auf x=1,5. So kannst du oben schon einmal das Ergebnis ablesen.

Die Lösungsidee ist die gleiche wie oben. Von der Rechtecksfläche subtrahierst die Dreiecksflächen.

'klein und groß' bezieht sich auf den Ausgangszustand des Arbeitsblattes

2 kleine Dreiecke:

A = 2*0,5*1,5²= 2,25 cm²

2 große Dreiecke:

A=2*0,5*(7-1,5)*(5-1,5)

A = 5,5*3,5

A = 19,25 cm²

weiter c)

'klein und groß' bezieht sich auf den Ausgangszustand des Arbeitsblattes

2 kleine Dreiecke:

A = 2*0,5*x² = x²

2 große Dreiecke

A = 2*0,5*(7-x)*(5-x)

A = (7-x)*(5-x)

A = 35 - 7x - 5x + x²

A =x² -12x + 35

Parallelogramme P_nQ_nR_nS_n:

A=35-[x²+(x²-12x+35)]

A=35-[2x²-12x+35]

A=35-2x²+12x-35

A = (-2x² + 12x) cm²

Jetzt musst du noch den Extremwert bestimmen.

weiter a)

Rechteck ABCD:

A = 5*7 = 35 cm²

Parallelogramm P₁Q₁R₁S₁:

A = 35 - (2,25+19,25)

A = 13,5 cm²

b)

Auch hier gilt: Die kürzere Rechteckseite legt den Definitionsbereich für x fest.

0 < x < 5

c)

Zunächst musst du den Flächeninhalt der Parallelogramme P_nQ_nR_nS_n
in Abhängikeit von x darstellen. Dies machst du nach dem Lösungsmodell von Teilaufgabe a).

weiter c)

-2x² + 12x =

-2 [x² - 6x] =

mit b = 6 : 2 = 3 gilt:

-2 [x² - 6x + 3² - 3²] =

-2 [(x² - 6x + 3²) - 9] =

-2 [(x - 3)² - 9] =

-2 (x - 3)² + 18

=> A_max= 18 cm²

für x = 3