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Geometrie mit Spaß lernen
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Vektoren 1
Parallelverschiebung, Gegenvektoren, Ortsvektoren
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Grüß dich Gott! ich freue mich, dass du mich besuchst. Hier beginnt ein neues Thema aus der 7. Klasse. es geht um die Parallelverschiebung und um Vektoren. Das sind die mathematischen Objekte, welche die Parallelverschiebung zahlenmäßig beschreiben. Mit diesen Dingern, mit diesen Vektoren lässt sich auch wunderbar rechnen. Aber alles der Reihe nach. Eile mit Weile und nur nicht hudeln. Lass dir Zeit.
Unten habe ich dir ein dynamisches Arbeitsblatt gemacht. Es ist leider etwas groß geraten, d.h. ich musste es so groß machen, damit du experimentieren kannst.
Wenn du auf 1, 2 bzw. 3 usw klickst blendest du neben dem Arbeitsblatt meine Plaudereien dazu ein.
Falls dein Computerbildschirm zu klein ist, dann kannst du das Arbeitsblatt mit der Maus am roten Balken packen und nach links schieben. Die Werbung ist im Augenblick nicht ganz so wichtig. |
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| Nr. 1 |
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Du kannst das Quadrat ABCD im Arbeitsblatt am roten Punkt A mit der Maus packen und es beliebig verschieben. Probiere es aus. Beobachte das Arbeitsblatt.
Warum wohl bezeichnet man mathematisch eine solche Schieberei als Parallelverschiebung?
Lass uns aber erst einmal ein paar Begriffe klären, damit du besser begreifst. Das ursprüngliche Quadrat heißt Urfigur und das verschobene Quadrat heißt Bildfigur. Diese Begriffe kennst du schon von der Achsenspiegelung her.
Die Parallelverschiebung ist eine Abbildung ähnlich der Achsenspiegelung, sogar sehr ähnlich.
Wenn du bei der Achsenspiegelung ein Quadrat abgebildet hast, dann hast du es Punkt für Punkt gemacht. Und bei der Parallelverschiebung musst du es auch Punkt für Punkt machen. So bequem wie in meinem Arbeitsblatt kannst du in deinem Heft nicht arbeiten.
Zahlenmäßig beschrieben wird so eine Parallelverschiebung durch die Verschiebungs-Anweisung, durch den Verschiebungsvektor. |
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| Nr. 8 |
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Eine unendliche Menge von parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeilen. Kennst du einen Pfeil des Vektors  , z.B. den Pfeil  , so kennst du auch alle anderen Pfeile des Vektors . Deshalb wird z.B. der Pfeil als Repräsentant (Vertreter) des Vektors bezeichnet.
Dass ein Vektor eigentlich ein Mengenbegriff ist, wird in der täglichen Arbeit mit Vektoren gerne vergessen, weil der sprachliche Umgang damit sehr mühsam wäre.
Wo es eigentlich heißen müsste:
Zeichne den Repräsentanten des Vektors .
spricht man kürzer:
Zeichne den Vektor .
Und weißt du was? Da jeder weiß, was damit gemeint ist, führt diese unsaubere Sprechweise auch nicht zu Missverständnissen. |
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| Nr. 7 |
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Diese Regel solltest du nie mehr vergessen, jedenfalls solange nicht, solange du noch in der Schule bist.
Fassen wir die Regel noch einmal in Worte.
Die Koordinaten des Verschiebungspfeils zwischen zwei Punkte A und A' kannst du aus den Koordinaten des Fußpunktes A(x/y) und den Koordinaten der Spitze A'(x'/y') mit der Regel
Spitze - Fuß
berechnen.
Wenn du links ins Arbeitsblatt schaust, siehst was ein Verschiebungsvektor eigentlich ist. Eigentlich ist ein Verschiebungsvektor eine Menge paralleler, gleich langer und gleich gerichteter Pfeile. Bei dem Quadrat gilt: |
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| Also eigentlich ist ein Vektor eine unendliche Menge. Von was? |
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| Nr. 6 |
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Lösung Aufgabe 3:
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Überlege wie du den Verschiebungsvektor berechnet hast.
vx = 7 - 1 = 6
vy = 3 - 1 = 2
Von den Koordinaten der Pfeilspitze ziehst du die Koordinaten des Fußes ab. Das Ganze lässt sich noch etwas eleganter und profimäßiger schreiben:
allgemein lässt sich dies so darstellen:
Spitze - Fuß |
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| Nr. 5 |
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Aufgabe 1:
Berechne die Koordinaten von A', B', C' und D'. |
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| zur Lösung hier klicken... |
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| A'(5/1), B'(8/1), C'(8/3), D'(5/3) |
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Aufgabe 2:
Berechne die Koordinaten von A', B', C' und D'. |
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| zur Lösung hier klicken... |
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| A'(4/-3), B'(6/-3), C'(6/-1), D'(4/-1) |
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Aufgabe 3:
Berechne den Verschiebungsvektor , wenn A'(7/3) ist. |
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| Nr. 4 |
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Abbildungsvorschrift der Parallelverschiebung:
Alle Punkte der Zeichenebene werden durch parallele, gleich lange und gleich gerichtete Pfeile verschoben. Im Koordinatensystem lassen sich diese Pfeile (Vektoren) durch ihre x- und y-Koordinaten beschreiben.
Lass uns mit dem Arbeitsblatt noch ein paar Parallelverschiebungen vornehmen und einige Rechnungen dazu machen. Für diese Rechnungen solltest du dich an meine Schreibweise halten.
Ich gebe dir einen Verschiebungsvektor und berechne dir die Koordinaten von A'. Du machst die Rechnungen dann für B', C' und D'. Kontrollieren tust du deine Ergebnisse im Arbeitsblatt links. |
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| Nr. 3 |
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Also was heißt  ?
Verschiebe den Punkt A um 4 LE nach links, gegen die Richtung der x-Achse, und um 2 LE nach oben, in Richtung der y-Achse.
A(1/1) ===> A'(1-4/1+2)
= A'(-3/3)
Und weißt du was, mit allen anderen Punkten machst du es genauso.
B(3/1) ===> B'(3-4/1+2)
= B'(-1/3)
C(3/3) ===> C'(3-4/3+2)
C'(-1/5)
D(1/3) ===> D'(1-4/3+2)
D'(-3/5)
Damit haben wir schon ein erstes Mal mit dem Marschbefehl, dem Verschiebungsvektor gerechnet.
Jetzt wird es aber Zeit eine Abbildungsvorschrift für die Parallelverschiebung zu formulieren. Eigentlich könntest du das selber einmal versuchen. Oderrrr? |
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| Nr. 2 |
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Ziehe den Punkt A' auf die Koordinaten (-3/3). A' hat also die Koordinaten
A'(-3/3).
Jetzt verwandelst du dich in ein kleines Menschlein, welches im Koordinatensystem herumwandern kann. Allerdings kannst du nur parallel zu den Achsen laufen. Querbeet lauern überall ganz fürchterlich-schröcköckliche Fallen.
OK, du läufst parallel zu den Achsen. Wie kommst du von A(1/1) zu A'(-3/3)?
Du marschierst von A(1/1) aus um 4 Längeneinheiten (LE) nach links, also gegen die Richtung der x-Achse, aber parallel zur x-Achse.
Jetzt bist du genau unter
A'(-3/3) angelangt. Du marschierst um 2 LE in Richtung der y-Achse nach oben und kommst zum Punkt A'(-3/3).
Ein Mathematiker fasst deine Marschierei kurz und knapp in folgendem Marschbefehl zusammen:
Versuch' diesen Marschbefehl zu übersetzen. |
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| Nr. 9 |
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So, ganz zum Schluss wollen wir uns noch Gedanken über die Eigenschaften einer Parallelverschiebung machen.
Kennst du noch die Eigenschaften der Achsenspiegelung? Weißt du noch was Längentreue ist, und was Winkeltreue und Geraden- und Kreistreue?
Wenn du das Quadrat verschiebst. Ändert sich dann die Länge der Quadratseiten oder ändern sich die rechten Winkel? Nein, sie ändern sich nicht.
Die Parallelverschiebung ist längentreu und winkeltreu.
Wenn du eine Quadratseite zu einer Geraden machst, z.B. [AB] über A und B hinaus verlängerst und du verschiebst dann das Quadrat zusammen mit der Geraden, dann ist das Bild der Geraden wieder eine Gerade. Diese Eigenschaft nennt man Geradentreue.
Es gibt durchaus Abbildungen, die aus einer Geraden eine krumme Linie machen. Denk an Jahrmarktsspiegel.
Die Parallelverschiebung ist also auch geradentreu und kreistreu ist sie auch. |
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Aufgabe 4:
Berechne die Koordinaten der Pfeile . Kontrolliere danach deine Ergebnisse mit dem Arbeitsblatt unten. Welche Pfeile sind Repräsentanten desselben Vektors? |
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A1(4/2) |
A2(-4/-1) |
A3(3/2,5) |
A4(-0,5/6) |
A5(0/-2) |
A6(6/-1) |
A7(-5/-3) |
A'1(8/4) |
A'2(3/5) |
A'3(-1/2.5) |
A'4(-1/-2) |
A'5(-4/-2) |
A'6(5,5/-7) |
A'7(-1/-1) |
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| Nr. 1 |
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Du kannst links im Arbeitsblatt die Punkte A und A' und damit den Fuß und die Spitze des Vektors mit der Maus bewegen (anklicken, Maustaste gedrückt halten und ziehen).
Du solltest wirklich erst rechnen und dann kontrollieren. Nur wenn du das Schnitzel ißt, wirst du satt.
Aufgabe 5:
Denke dir mindestens 5 weitere Paare A und A' aus und berechne den Vektor . Du kontrollierst deine Ergebnissse wieder mit dem Arbeitsblatt.
Was hat es nun mit dem grünen Schalter "Gegenvektor" auf sich?
Probiere es einfach aus. Stelle den Schalter auf "Ein" und stelle die Vektoren von Aufgabe 4 dar.
Versuche zu formulieren was einen Gegenvektor ist. Wie schauen die Koordinaten von Vektor und Gegenvektor aus? |
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| Nr. 6 |
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Aufgabe 9:
Gegeben ist der Bildpunkt
A'(-4/2) und der Gegenvektor * =  . Bestimme den Verschiebungsvektor und die Koordinaten des Urpunktes A.
zur Lösung hier klicken... |
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| Nr. 5 |
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Aufgabe 8:
Gegeben ist der Bildpunkt A'(1/-2) und der Verschiebungsvektor  . Bestimme den Gegenvektor und die Koordinaten des Urpunktes A.
zur Lösung hier klicken... |
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| Nr. 4 |
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Aufgabe 7:
Gegeben ist der Urpunkt A(4/1) und der Verschiebungsvektor
= . Bestimme den Gegenvektor und die Koordinaten des Bildpunktes A' .
zur Lösung hier klicken...
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Die nächste Aufgabe findest du in Einblendung Nr. 5. Alles klar?
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| Nr. 3 |
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weiter Aufgabe 6:
Du weißt doch noch, den linken vektor berechnest du mit der Regel
Spitze - Fuß
Zwei Vektoren sind dann gleich, wenn ihre Koordinaten gleich sind. Deshalb kannst du aus dieser Vektorgleichung zwei normale Gleichungen machen, die durch Äquivalenzumformungen lösen kannst.
Diesen Lösungsweg mit zunächst einer Vektorgleichung und dann zwei normalen Gleichungen solltest du dir einprägen. |
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| Nr. 2 |
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Ein Vektor *, der die Verschiebung eines Punktes A(x/y) mit dem Vektor wieder rückgängig macht, heißt Gegenvektor.
Die Abbildung heißt Umkehrabbildung. Die Koordinaten von Vektor und Gegenvektor haben entgegengesetzte Vorzeichen.
Aufgabe 6:
Gegeben ist der Bildpunkt A'(4/-1) und der Gegenvektor *= . Berechne den Verschiebungsvektor und den Urpunkt A.
Nun gut, der Verschiebungsvektor ist leicht anzugeben:
=
Zur Berechnung von A stellst du folgende Vektorgleichung auf:
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| Nr. 7 |
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Aufgabe 10:
Gegeben ist der Urpunkt A(8/1.5), der Bildpunkt
A'(5/y') und der Vektor
=  . Bestimme die fehlenden Koordinaten des Verschiebungsvektors , des Bildpunktes A' und den Gegenvektor .
zur Lösung hier klicken... |
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So jetzt will ich dir noch eine andere Methode zur Berechnung der Koordinaten vom Urpunkt oder Bildpunkt oder vom Verschiebungsvektor zeigen. Das Werkzeug dazu heißt Ortspfeil oder auch Ortsvektor. Nein, das ist nur Mittel zum Zweck. Das Werkzeug heißt Pfeilkette. Was das ist, findest du in den Plaudereien zum Arbeitsblatt unten. Es läuft alles so wie bei den obigen beiden Arbeitsblättern.
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| Nr. 1 |
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Ein Ortsvektor, oder auch Ortspfeil genannt, hat seinen Fußpunkt im Ursprung des Koordinatensystems. Er hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt zu dem er hinführt.
Probiere es links aus. Du kannst die Punkte A und A' mit der Maus bewegen.
Das Werkzeug, welches wir jetzt brauchen, heißt Pfeilkette (oder Vektorkette) .
Was ist eine Pfeilkette?
Du hängst an die Spitze eines ersten Pfeils den Fuß eines zweiten Pfeils an. An dessen Spitze kannst du wiederum den Fuß eines dritten Pfeils anhängen usw.
Es entsteht eine Pfeilkette, die nichts anderes darstellt als einen Marschbefehl. Du erinnerst dich ? Du bist ein kleines Menschlein, das sich im Koordinatensystem bewegen kann, bewegen muss, und das Immer nach Dienstanweisung durch einen Marschbefehl. Dieser Marschbefehl ist in einer besonderen Schreibweise notiert.
Was bedeutet:
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Nr. 8 |
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Lösung Aufgabe 12:
Aufgabe 13:
Das Dreieck ABC wird durch den Vektor auf das Dreieck A'B'C' abgebildet. Berechne die Koordinaten der fehlenden Urpunkte.
A'(1/-2), B'(4/-3), C'(4/1)
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Nr. 7 |
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Aufgabe 12:
Das Dreieck ABC wird durch Parallelverschiebung auf das Bilddreieck A'B'C' abgebildet. Übertrage die angegebenen Punkte in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 LE = 0,5 cm. Berechne die Koordinaten der fehlenden Bildpunkte.
A(1/6), B(8/13), C(-2/12)
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Nr. 6 |
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weiter Aufgabe 11:
Die Kontrolle deiner Lösungen für B' und C' kannst du dir mit dem Arbeitsblatt links ausklamüstern. Du musst einfach A und A' im Geiste durch B und B' bzw. C und C' ersetzen.
Zur Lösungskontrolle für die nächsten Aufgaben ist mein Arbeitsblatt nicht mehr geeignet, da das Koordinatensystem zu klein ist. Also versuch' es erst gar nicht.
Aufgabe 12:
Das Dreieck ABC wird durch Parallelverschiebung auf das Bilddreieck A'B'C' abgebildet. Übertrage die angegebenen Punkte in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 LE = 0,5 cm.
Berechne die Koordinaten der fehlenden Bildpunkte und den Verschiebungsvektor.
A(10/1), B(15/3), C(12/6)
A'(3/3) |
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| Nr. 5 |
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weiter Aufgabe 11:
Lösung mit dem Werkzeug "Spitze - Fuß"
Aus der Vektorgleichung machst du jetzt zwei einfache Gleichungen.
Beide Berechnungsarten für A' haben ihre Berechtigung und Vorzüge. Da ich die Zukunft kenne (realschulmathematisch), neige ich eher der Pfeilkette zu. |
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| Nr. 4 |
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Aufgabe 11:
Das Dreieck ABC wird durch Parallelverschiebung auf das Bilddreieck A'B'C' abgebildet.
Übertrage die angegebenen Punkte in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 LE = 0,5 cm.
Berechne die Koordinaten der fehlenden Bildpunkte.
A(2/2), B(1/4), C(-4/1)
zur Lösung hier klicken... |
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Lösung mit Pfeilkette:
Wie schaut die Schreibweise mit dem Werkzeug "Spitze - Fuß" aus? |
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| Nr. 3 |
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Halten wir fest:
Ein Pfeilkette (Vektorkette) stellt eine Addition von Vektoren dar.
Du addierst zwei Vektoren indem du ihre Koordinaten addierst.
Achtung! Es gibt weder eine Vektorsubtraktion, noch eine Vektormultiplikation, und auch keine Vektordivision. Es gibt nur Pfeilketten, also eine Vektoraddition.
Versuche also nicht eine Vektorgleichung äquivalent umzuformen. Es geht nicht!!!
Ausnahme: Die Addition eines Gegenvektors ist eine Äquivalenzumformung, aber ich versichere dir du brauchst das nicht.
Du kannst aus einer Vektorgleichung immer zwei einfache Gleichungen machen. Wie das funktioniert, siehst du in den nächsten Aufgaben.
Hier solltest du dir unbedingt die Schreibweisen genau einprägen. Ob du das Werkzeug "Spitze-Fuß" benutzt oder die Pfeilkette (= Vektoraddition), das bleibt dir überlassen. |
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| Nr. 2 |
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Du sollst dich vom Ursprung aus nach A' bewegen. Der direkte Weg ist dir aber noch nicht bekannt. Dein Marschbefehl sagt dir aber wie du nach A' kommen kannst.
Vom Ursprung aus marschierst du entlang des Ortsvektors  nach dem Punkt A. Von dort aus folgst du dem Verschiebungsvektor . Genau genommen kannst du dich ja nur parallel zu den Achsen bewegen. Wie das zu geschehen hat sagen dir die zugehörigen Spaltenvektoren.
Das Ganze nennt sich Vektoraddition. Das Additionszeichen ist ein Pluszeichen im Kreis! |
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Nr. 9
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Lösung Aufgabe 13:
Die Koordinaten der Punkte B und C berechnest du auf die gleiche Weise. Du könntest bei dieser Aufgabe aber auch das Werkzeug "Spitze - Fuß" benutzen.
B(0/-6), C(0/-2)
Ich hoffe, du bist auf die Lösungen gekommen. Mehr Aufgaben gibt es auf der nächsten Seite.
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 21:17
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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