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| Übung 2: |
Das Trapez PQRS wird durch zentrische Streckung auf das Trapez P'Q'R'S' abgebildet. Es gilt: Z(-5/-2); P(-3/-2); Q(-1/0); R(-1/1), S(-3/2); P'(0/-2) a) Zeichne das Urtrapez und das Bildtrapez. b) Berechne den Streckungsfaktor k , die Flächeninhalte von Urtrapez und Bildtrapez. |
| Lösung mit Mouseover |
k = 2,5; A = 5 FE A' = 12,5 FE |
| Übung 3: |
Berechne die fehlenden Größen. a) k=3,5; k²=?; A=18 cm² A'=? b) k=-1,8; k²=?; A=?; A'=16,2 cm² c) k=?; k²=?, A= 12 cm²; A'= 1,92 dm² d) k = -0,2; k²= ?; A= ?; A'=2 mm² e) k=?, k²=1,69; A=5cm²; A' = ? f) k=?; k²=?; A=50 cm²; A'=0,32 dm² g) k=?, k²=121; A=?; A'=605 cm² |
| Lösungen mit Mouseover |
a) k² = 12,25; b) k² = 3,24; c) k² =16; k =4 oder!!! k= -4 d) k² = 0,04; e) k = 1,3; f) k² = 0,64, k = 0,8 g) k = 11, A = 55 cm² |
| Übung 4: |
Das Dreieck ABC wird durch zentrische Streckung auf das Dreieck A'B'C' abgebildet. b) Gib den Streckungsfaktor k an. Es gilt: A(1/2,5); B(2,5/1); C(3/2); Zum ersten Mal so eine Aufgabe, ist schwer. Hier ist nur ein Bildpunkt bekannt. Aber ich lass Dich nicht alleine. Bedenke und betrachte Übung 1! Dort haben wir P' durch eine Parallele gefunden. Hier brauchst Du 2 Parallelen. Schau Dir die Hinweis-Bilder unten an. |
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| Lösung einblenden |
k = - 0,8 A'(-0,8/-1,2) C'(-2,4/-0,8) |
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Geometrie mit Spaß lernen
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und 
ausrechnen.
oder 
. Die Richtung ist völlig wurscht, Bratwurscht, Stadtwurscht oder Göttinger, völlig wurscht.
| Fortsetzung des Rechenteils von Übung 1 unten: |
1.Schritt: Wir berechnen m. Dazu brauchen wir einen Steigungsvektor. Du kennst aber von der Geraden P'Q' nur den Punkt Q'. Da kommst Du nicht weiter. Aber wie immer gilt: Der zeichnerische Lösungsweg beschreibt den rechnerischen Lösungsweg! Wie hast du die Gerade P'Q' gezeichnet? Richtig, als Parallele zur Strecke [PQ]. Parallelen haben dieselbe Steigung. PQ und P'Q' haben dieselbe Steigung und die Punkte P und Q sind gegeben. Mit ihnen können wir einen Steigungsvektor aufstellen.
Schau in die Zeichnung ob es stimmt. 2. Schritt: Wir berechnen t. y = -0,6 x + t | Q' eingesetzt 8,5 = - 0,6 * 3 + t 8,5 = -1,8 + t | + 1,8 10,3 = t Jetzt kannst du die Gleichung der Geraden P'Q' aufstellen: P'Q': y = -0,6 x + 10,3 Und jetzt schneidest du die beiden Geraden. Du erhältst folgendes lineares Gleichungssystem. y = 0,2 x + 1,9 Ich hoffe, du weißt noch wie man so ein lineares Gleichungssystem löst? Ich mache hier nämlich nicht noch ein Faß "Lösen linearer Gleichungsysteme" auf. Aber du bekommst etwas ähnliches wie ein Kochrezept von mir. Du setzt die beiden Rechtsterme gleich! 0,2 x + 1,9=-0,6 x + 10,3 |-1,9 0,2 x = -0,6 x + 8,4 | + 0,6x 0,8x = 8,4 | : 0,8 x = 10,5 Das ist jetzt die x-Koordinate des Punktes P'. Die setzt du in eine der beiden Geradengleichungen ein und rechnest dir die zugehörige y-Koordinate aus. y = 0,2 x + 1,9 | x eingesetzt y = 0,2 * 10,5 + 1,9 y = 4 => P'(10,5 / 4) Das wäre geschafft, aber fertig sind wir noch nicht. Noch fehlen die Flächeninhalte, die Flächeninhalte von Dreiecken. Jetzt sollten dir eigentlich die Werkzeuge einfallen mit denen man den Flächeninhalt von Dreiecken berechnen kann.
Na, wenigstens etwas: einhalb mal Grundseite mal Höhe. Schauen wir einmal nach, ob uns diese Flächenformel hier weiterhilft. Du brauchst die Maße einer Grundseite und der dazugehörigen Höhe und die haben wir hier nicht. Jetzt wäre eine richtige Überlegung: Können wir uns die Maße vielleicht berechnen? Doch noch ist das für dich unmöglich. Da muss ich dich für ein paar Monate vertrösten. Kurz und gut: Die Flächenformel oben hilft uns nicht. Es gibt noch ein Werkzeug und du solltest mindestens wissen, dass es existiert. Sonst kommst du nicht einmal auf die Idee in der Formelsammlung danach zu suchen. Flächen im Koordinatensystem berechnet man oft mit der Determinantenformel. Schau Dir mal unten die Grafik an. |
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Die Pfeile Den Satz hast du schon öfters gehört aber nie verstanden. Also ganz langsam das Kochrezept zum Mitschreiben. Du hast ein Dreieck im Koordinatensystem von dem du nur die Koordinaten der Eckpunkte kennst und sollst die Fläche berechnen. 1. Du machst zwei Seiten des Dreiecks zu Vektoren. Aber Achtung! Holla! D.h. beide Pfeile gehen von derselben Ecke weg. Welcher Ecke? Das ist wurscht. mit Spitze - Fuß berechnest du die Vektorkoordinaten. Auf dem Trockenen kann man nicht schwimmen lernen. Also wie schaut das bei unserer Aufgabe aus. Wir berechnen uns den Flächeninhalt des Urdreiecks PQR. Den Flächeninhalt des Bilddreiecks berechnen wir dann mit der Formel. A' = k² * A Welche Dreiecksseiten wir zu Vektoren machen ist wurscht. Ich wähle [QR] und [QP]. |
Was fangen wir nun mit diesen Vektoren an? 2. Dazu brauchen wir die sogenannte Determinantenformel. Für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC gilt:
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So eine Schreibfigur mit 4 Zahlen im Viereck und mit 2 senkrechten Strichen links und rechts nennt man eine Determinante. Wenn du etwas determinierst, dann legst du etwas fest. Diese Schreibfigur -3 * 3 - 4 * (-5) = -9 + 20 = 11 Unsere Determinante hat den Zahlenwert 11. Hey, klasse, du hast es gemerkt. In meine Beispieldeterminante habe ich die Koordinaten unserer beiden Vektoren
Das Dreieck PQR hat also einen Flächeninhalt von A = 0,5 * 11 FE = 5,5 FE Du sagst "ist doch easy"? Halt! Stopp! Falle! Wenn du die Aufspann-Vektoren falsch herum einsetzt, also zuerst Regel: Du musst den Aufspann-Vektor als erste Spalte der Determinante einsetzen, der gegen den Uhrzeigersinn gedreht, das Dreieck überstreicht! Was machst du, wenn du diese Regel nicht beachtet hast und dein Flächeninhalt negativ ist? Trick 17b: Du setzt die Determinante und deine Rechenergebnisse nachträglich in Betragstriche. Dein Lehrer wird dich bewundern und sich wundern, ehrlich. Die andere Möglichkeit ist natürlich, Du streichst alles durch und rechnest nochmal. Ich waaf und waaf und wir sind immer noch nicht fertig. Wir brauchen ja noch den Flächeninhalt des Bilddreiecks P'Q'R'. Aber wir wissen ja inzwischen, hoffentlich immer noch, bei der zentrischen Streckung gilt: A' = k² * A A' = (-1,5)² * 5,5 FE A' = 12,375 FE |
So jetzt machst du erst einmal Pause bis morgen. Und wenn du dann die Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken im Koordinatensystem mittels der Determinantenformel interaktiv mit fast unendlich vielen Aufgaben üben willst, dann habe ich hier einen tollen Link für dich. Du kannst dich sogar in eine High-Score Liste eintragen. Die Seite stammt von einem Kollegen Andreas Meier von der Sophie-Scholl-Realschule Weiden i.d.OPf und ich finde sie ganz toll. Ich kann keine Ruhe geben, nur noch ein Allerletztes: Am linken Rand unter der Werbung findest du weitere Aufgaben zur zentrischen Streckung. |
und 
spannen das
legt auch etwas fest, nämlich einen Zahlenwert. Wenn du oben in die Formel schaust, siehst du, dass du die Zahlen in der Determinante kreuzweise multiplizieren musst., also
und 
eingesetzt.