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Geometrie mit Spaß lernen
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Strecken ohne Schrecken 7
Die zentrische Streckung von Geraden; Gleichung der Bildgeraden
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ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 9. Februar 2007 ff., überarbeitet 19.04.2008) |
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Hallo du, auf ein Neues. Heute möchte ich dir zeigen wie man die Gleichung einer zentrisch gestreckten Geraden bestimmt.
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Auf los gehts's los. Los! Ich kann es dir gar nicht oft genug sagen:
Die zeichnerische Lösung zeigt Dir auch einen Weg zur rechnerischen Lösung!
Es gibt allermeistens mehrere Lösungsmöglichkeiten, aber wie gesagt die zeichnerische Lösung zeigt dir aber immer einen möglichen Lösungsweg. Du schiebst das Zeichenblatt mit der Maus zur linken Seite, dann kannst du dir rechts der Reihe nach die Diskussion über die Lösungsschritte einblenden. Du klickst auf 1. bzw. 2. usw. Alles klar? Dann los! |
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Aufgabe:
Die Gerade g: y = 0,5x + 1 wird durch zentrische Streckung mit Z(2/1) und k= 3 auf die Gerade g' abgebildet. Führe die Abbildung zeichnerisch durch und bestimme die Gleichung der Bildgeraden.
Das Folgende kennst du ja nun schon von den letzten Seiten. Packe das Arbeitsblatt mit der Maus an der roten Leiste und schiebe es nach links, so dass rechts der Platz für die Beschreibungen der Lösungsschritte frei wird. Klicke auf 1. usw!
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| Nr. 1 |
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Diesmal habe ich dir unten im Arbeitsblatt eine Leiste zum Abspielen der Konstruktionschritte eingeblendet. Es sind 12 Schritte wie du unschwer an 12/12 erkennst. Klickst du auf "Abspielen" werden dir die Einzelbilder im Abstand von 3 Sekunden gezeigt. Die Geschwindigkeit kannst du aber ändern. Du kannst es dir aber auch Schritt für Schritt anschauen.
Wie das geht? Muss ich dir wirklich die Steuerung-Buttons erklären? Nee, da hab' ich jetzt keinen Bock drauf. Probier es aus, zum Kuckkuck! Du solltest zunächst mit meiner Zeichnung nicht experimentieren, dafür später umso mehr. Falls du es nicht lassen kannst, klicke danach auf "Aktualisieren" - Doppelpfeil rechts oben im Arbeitsblatt .
Als erstes musst du die Gerade g: y=0,5x+1 zeichnen. Du weißt nicht, wie du das machen sollst? Tschüß! Wenn du es gelernt hast, komme wieder.
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| Nr. 5 |
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Welcher der beiden Punkte A oder B hätte sich denn auch geeignet um die Gleichung der Bildgeraden g' zu bestimmen?
Richtig, der Punkt A. Ich habe den y-Wert des Punktes Z in die Gleichung von von g eingesetzt.
1 = 0,5*x + 1 | -1
0 = 0,5*x | : 0,5
x = 0
=> A(0/1)
Es würde ähnlich wie mit P laufen.
Der Punkt B ist ungeeignet, weil B' nur ungenau durch Messung zu bestimmen ist.
Falls du ein Klugscheißer bist und sagst, dass man auch B nehmen könnte, wenn man Vektoren verwenden würde. Dann antworte ich: In Wahlfachgruppe II/III steht uns dieses Werkzeug leider nicht zur Verfügung.
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| Nr. 4 |
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4 = 0,5*2 + t
4 = 1 + t | -1
3 = t
=> g': y = 0,5* x + 3
2. Möglichkeit
Du setzt den Punkt P'(2/4) in die sogenannte Punktsteigungsform der Geraden g' ein:
g': y = 0,5*(x - xP') + yP'
y = 0,5*(x - 2) + 4
y = 0,5x -1 + 4
y = 0,5x + 3
Die Punktsteigungsform bietet sich immer dann als Werkzeug an, wenn du einen Punkt und die Steigung der Geraden kennst. Doch welche der beiden Möglichkeiten du bevorzugen sollst, dass musst du selbst entscheiden.
Wozu habe ich aber noch die Punkte  eingezeichnet und zentrisch gestreckt? Klicke auf "5."!
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| Nr. 3 |
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yP = 0,5 * 2 +1 = 2
=> P(2/2)
Es gilt : 
Mit Z(2/1) und P(2/2) gilt:
 = 3* 1 LE =3 LE
(1 LE = 1 Längeneinheit)
=> P'(2/4)
Du weißt P' liegt auf g' und g' ist parallel zu g, d.h. aber die Bildgerade hat dieselbe Steigung wie die Urgerade:
m = 0,5
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Gleichung der Bildgeraden zu berechnen.
1. Möglichkeit
Du setzt den Punkt P'(2/4) in die Gleichung
y = 0,5*x + t
ein:
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| Nr. 2 |
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Ich hoffe, du kennst noch die Eigenschaften der zentrischen Streckung. Urgerade und Bildgerade sind parallel! Wir bräuchten also nur einen einzigen, oder wie der Allgäuer sagt "einen gotzigen", Punkt von der Urgeraden zentrisch strecken, und dann durch den Bildpunkt eine Parallele zeichnen.
Doch diesmal wollen wir völlig ohne Messung mit dem Geodreieck auskommen. Ich habe mir den Punkt P auf g gewählt. Warum wohl? Tiefes Nachdenken ist angesagt.
Ich habe mir den Punkt P ausgesucht, weil P die gleiche x-Koordinate wie Z hat. Sie liegen übereinander. Wir wollen ja ohne zu messen auskommen. Das gelingt aber nur, wenn wir einen Punkt  in Richtung einer Achse strecken.
Wie findest du P? Du setzt die x-Koordinate von Z in die Geradengleichung ein und rechnest dir die zugehörige y-Koordinate von P aus.
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Übungsaufgaben:
Die Gerade g wird durch zentrische Streckung auf die Gerade g' abgebildet. Zeichne die Geraden g und g'. Bestimme wie oben die Gleichung der Bildgeraden g'. |
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a) g mit y = -x + 4; Z(3/4); k= 2 |
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b) g mit y = 2x + 1; Z(3/1), k= -0,5 |
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c) g mit y = -0,5x + 2, Z(0/4); k= 1,5 |
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d) g mit y = 3x - 1; Z(1/0), k= -0,75 |
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Lösungen: a) g': y = -x + 1 b) g': y 0 2x - 8 c) g': y = -0,5x + 1 d) g': y = 3x - 4,5 |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 21:43
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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