Du hast ja recht, der Vierstreckensatz schaut in jedem Buch und jeder Formelsammlung etwas anders aus. Schon weil andere Bezeichnungen für die Punkte gewählt werden. Aus diesem Grund ist es ganz wichtig, dass du dich zunächst in alle möglichen V-Figuren und X-Figuren einsiehst, Deine Sehgewohnheit schärfst und damit auch deine Fähigkeit den Vierstreckensatz einzusetzen.

Es nützt nichts nur zu wissen, was eine Feile ist. Du musst auch feilen können und das dauert seine Zeit und braucht Übung. Und Übungen biete ich Dir unter dem Arbeitsblatt an.

Bei den ersten Übungen kannst du meinen Lösungsweg einblenden. Doch du solltest es erst selber versuchen. Bei weiteren Übungen gebe ich dann nur noch die Lösung an.

Per aspera ad astra!

Übung macht den Meister!

==> unter dem Applet geht es weiter!

Sowohl in der V-Figur als auch in der X-Figur gilt:

Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, dann gilt:

Die Streckenabschnitte auf der einen Geraden verhalten sich wie die entsprechenden Streckenabschnitte auf der anderen Geraden.

(1)      =

(2)      =

Die Streckenabschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die (von Z ausgehenden) zugehörigen Strecken auf einer Geraden.

(3)      =

In deinem Buch schauen die Gleichungen aber anders aus? Na ja, du kannst die Brüche natürlich auch stürzen und Äquivalenzumformungen machen.

Wir testen die 3. Streckensatz in der V-Figur.

(3)      =

= 5,09 : 8,49 = 0,6 = k

= 6 : 10 = 0,6 = k

Und jetzt husch, husch zur X-Figur.

= 5,09 : 8,49 = 0,6 = |k|

= 6 : 10 = 0,6 = |k|

Na gut, das hast du schon erwartet, dass der 3. Vierstreckensatz auch funktioniert. Jetzt ist es an der Zeit den Vierstreckensatz auch in Worte zu fassen.

Wir testen in der V-Figur den folgenden Streckensatz.

(2)      =

= 8,49 : 3,39 = 2,5

(das lässt sich natürlich auch in Abhängigkeit von k angeben:

= 1: (1-0,6) = 2,5

Dies ist aber für die praktische Anwendung völlig unwesentlich)

= 7,21 : 2,88 = 2,5

Wir testen in der X-Figur. Stelle k auf k = -0,6.

= 8,49 : 13,58 = 0,625

= 7,21 : 11,54 = 0,625

Auch der 2. Vierstreckensatz funktioniert.

Wir testen in der V-Figur den folgenden Streckensatz. Dazu benutzen wir die Angaben aus dem Algebrafenster des Applets:

(1)      =

= 5,09 : 8,49 = 0,6 = k

Die Werte im Algebrafenster sind gerundet, deswegen zeigt Dein Taschenrechner nicht genau 0,6 sondern 0,5995288575.

= 4,33 : 7,21 = 0,6 = k

Wir testen die Gleichung auch in der X-Figur. Dazu stellst du den Schieberegler auf k = -0,6.

= 5,09 : 8,49 = 0,6 = |k|

= 4,33 : 7,21 = 0,6 = |k|

Das Betragzeichen muss ich Dir hoffentlich nicht mehr erklären.

Vierstreckensatz Nr. 1 hat funktioniert.

Nachdem wir in den ähnlichen Dreiecken die sich entsprechenden Seiten bestimmt haben, können wir auf die Gleichheit nachfolgender Streckenverhältnisse schließen.

(1)      =

(2)      =

(3)      =

So und jetzt wollen wir einmal testen, ob diese Gleichungen auch der Wirklichkeit standhalten. Damit du nachvollziehen kannst, wovon ich rede, musst du aber erst das Arbeitsblatt auf folgende Werte einstellen:

A(-1/11), B(9/11) und Z(5/5), den Schieberegler für k stellst Du bitte auf k = 0,6. Mit dem 1.Klick auf das Objekt aktivierst du es und mit dem 2.Klick und gedrückter Maustaste, kannst du das Objekt ziehen.

Du weist doch was in ähnlichen Dreiecken gilt?

Wenn Dreiecke ähnlich sind, dann stimmen sie im Verhältnis entsprechender Seiten überein.

Welche Seiten entsprechen sich nun in unseren Dreiecken?

==>

==>

==>

Es entsprechen sich aber auch

==>

Warum entsprechen sich diese Streckenabschnitte? Diese Frage beantworte ich dir hier nicht. Ich müsste noch ein paar Hilfsdreiecke in die Zeichnung einzeichen. Dann könnte ich es ebenfalls mit der Ähnlichkeit von Dreiecken beweisen.

Wenn wir die Streckenverhältnisse aufgestellt haben, werden ich es dir an einigen Beispielen zeigen, dass dies wirklich stimmt.