Berechnung des Teilpunktes einer Strecke mittels Vektoren

Strecken ohne Schrecken 15
Berechnung des Teilpunktes einer Strecke mittels Vektoren

ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 23. Februar 2007 ff.)

Hallo und Servus du. Heute wollen wir uns noch einmal mit den Teilpunkten von Strecken beschäftigen. Du erinnerst dich? Wir haben dies bereits in "Strecken ohne Schrecken 6" gemacht. Solltest du nicht mehr wissen wie man einen Teilpunkt konstruiert, dann schau es dir dort an. Schließlich bin ich keine tibetische Gebetsmühle, die zu deiner Bequemlichkeit immer wieder von vorne anfängt.

Aufgabe:

Der Punkt T soll die Strecke [AB] so teilen, dass gilt:

Es gilt: A(2/-1); B(7/5)

Ermittle die Koordinaten durch Zeichnung und Rechnung

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Spiel dir mit dem Player die Konstruktion vor. Hier eine Kurz-und-schmerzlos-Erklärung:

Du zeichnest eine Hilfsstrecke [AH] mit 7 LE parallel zur x-Achse (oder y-Achse). Der Punkt Q teilt die Strecke [AH] im Verhältnis 5:2. Jetzt verbindest Du die Punkte H und B und zeichnest eine Parallele zur Strecke [HB] durch den Punkt Q. Die Parallele schneidet die Strecke [AB] im Teilpunkt T.

Wenn Du noch einmal das Warum und Weshalb erklärt haben willst, dann gehe auf "Strecken ohne Schrecken 6".

Weißt Du noch wie wir die Koordinaten des Teilpunktes T berechnet haben? Wir haben die Geraden QT und AB geschnitten. Dazu mussten wir erst einmal die Geradengleichungen aufstellen.Wenn Du Deine Kenntnisse über die zentrische Streckung von Vektoren anwendest, geht es viel schneller.

==> unten 2. Arbeitsblatt

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Nr. 1

Um einen Teilpunkt T zu berechnen, brauchst Du eigentlich gar keine Zeichnung, sondern nur eine kleine Skizze. Schau Dir meine Skizze links an.

Die Teilung einer Strecke siehst Du als zentrische Streckung des Vektors mit dem Streckungszentrum A an. Der Vektor wird auf den Vektor abgebildet.

Wie kommst Du zum Streckungsfaktor k? T teilt die Strecke [AB] im Verhältnis 6:4, d.h. die Strecke [AB] wird in 10 Teile geteilt. hat 6 Teile und hat 4 Teile.

=> k =

Übrigens du kannst die Punkte A und B mit der Maus versetzen. Außerdem lässt sich mit den Schiebereglern das Teilungsverhältnis ändern. Aber jetzt bitte noch nicht. Wir wollen ja noch die Koordinaten von Punkt T berechnen.

Bedenke meine Werte sind alle auf eine Kommastelle gerundet.

Nr. 2

Du benutzt die Abbildungsvorschrift

"Bildvektor = k * Urvektor"

dann gilt mit T(x/y):

=> T(5/42,6)

Du kannst den Teilpunkt T auch mit einer Pfeilkette berechnen. Wenn du T mit einer Pfeilkette berechnen willst, dann heißt das, du berechnest den Vektor .

Nr. 3

Unten geht es weiter.

So und jetzt habe ich noch ein paar Aufgaben für dich. Doch diesmal bekommst du die Lösungen nicht mit "Mouseover". Du kannst deine Lösungen mit dem dynamischen Arbeitsblatt oben überprüfen. Die Punkte A und B lassen sich entweder mit der Maus verschieben. Mit den beiden Schiebereglern stellst du den Streckungsfaktor k ein.

Per aspera ad astra!

Aufgabe:

a) A(-5/0,5); B(4/5,5); = 2 : 3; T(x/y)

b) A(-1/6); B(7/2); = 5 : 3;T(x/y)

c) A(0/-3); B(7,5/0,8); = ?; T(3/-1,5)

Was sagst du, das haben wir noch gar nicht besprochen? Tja, das Leben ist eines der schwierigsten und wenn du glaubst, du musst jeden Pubs geübt haben, bevor ein Lehrer von dir verlangen darf ihn zu wiederholen, dann bist du auf dem Holzweg. Alles was du zur Lösung brauchst, weißt du. Wenn du deine 3 wichtigsten Werkzeuge (Hirn, Gedächtnis und Ausdauer) einsetzt, schaffst du es.

d) A(1/-2); B(6/3); = ?; T(4,6/y)

e) A(3/-5); B(-1/4); = ?; T(x/0,7)

Beachte: Das Arbeitsblatt rundet das Endergebnis auf 1 Kommastelle. Zwischenergebnisse werden nicht gerundet.

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