Berechnung einer Bildgeraden mittels dem Parameterverfahren

Strecken ohne Schrecken 16
Berechnung einer Bildgeraden mittels dem Parameterverfahren

ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 24. Februar 2007 ff., überarbeitet 26. April 2008)

Schön, dass du immer wieder dabei bist. Servus! Heute wollen wir noch einmal eine Gerade zentrisch strecken und die Gleichung der Bildgeraden bestimmen. Du erinnerst dich, wir haben es schon gemacht in "Strecken ohne Schrecken 7". Wenn du es nicht mehr weißt, wäre es nützlich, dir die Seite erneut reinzuziehen.

Aufgabe:

Die Gerade g mit der Gleichung y = 0,5x + 1 wird durch zentrische Streckung mit dem Zentrum Z(2,5/1) und dem Streckungsfaktor k = 2,5 auf die Bildgerade g' abgebildet.

Klicke unten auf 1, 2 usw. um meine Plaudereien einzublenden.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Nr. 1

Bevor wir loslegen willst du wissen, warum du noch ein Verfahren, das Parameter-Verfahren, lernen sollst. Es gibt dafür zwei Gründe:

1. Es steht in Bayern im Lehrplan der Wahlfachgruppe1. Möglicherweise verlangt es ja dein Lehrer in einer Schulaufgabe von dir. Außerdem musst du dieses Jahr auch noch Parabeln zentrisch strecken. Da brauchst du das Parameterverfahren.

2. In der 10. Klasse in Wahlfachgruppe 1 wirst du auch die Abbildungsgleichungen für die anderen Abbildungen kennenlernen. Auch dort ist dann die Anwendung des Parameter-Verfahrens unerlässlich.

Es ist also besser du lernst es, zumal es nicht schwer ist. Eigentlich müsstest du auch selber drauf kommen.

Der Trick beim Parameter-Verfahren, wenn man hier überhaupt von Trick reden kann, ist, du bildest einen allgemeinen Punkt P(x / y) der Geraden g ab. Für alle Punkte P(x / y) auf der Geraden g mit
y = 0,5x + 1 gilt:

P(x / 0,5x + 1)

Nr. 5

Parameterverfahren

Durch ein Gleichungssystem mit den Variable x' und y' und der weiteren Variablen (dem Parameter) x kann man die Gleichung einer Bildgeraden ermitteln. Diese erhält man durch Eliminieren des Parameters x aus dem Gleichungssystem. Ein solches Verfahren nennt man Parameterverfahren.

Hinweis: Das Parameterverfahren funktioniert genauso bei einer Parabel. Und das steht dieses Jahr auch noch auf dem Programm.

Aufgabe:

Bestimme die Gleichungen der Bildgeraden für
k{-2; -0,8; 0,5; 3}

Du kannst links mit dem Schieberegler k verändern. Überprüfe deine Ergebnisse anhand des Graphen.

Unter dem Arbeitsblatt habe ich noch ein paar Aufgaben für dich.

Nr. 4

Du kannst die Gleichung der Bildgeraden natürlich auch mithilfe der Abbildungsvorschrift

aufstellen:

x' - 2,5 = 2,5x - 6,25
y' - 1 =1,25x

=>

x' - 2,5 = 2,5x - 6,25 |+6,25
x' + 3,75 = 2,5x | : 2,5
0,4x' + 1,5 = x

eingesetzt:

y' - 1 = 1,25 (0,4x' + 1,5)
y' - 1= 0,5x' + 1,875 | +1
y'= 0,5x' + 2,875

Lässt man auch hier die Apostrophen weg, dann lautet die Gleichung der Bildgeraden:

g': y = 0,5x + 2,875

Nr. 3

Unser Ziel ist es, einen Zusammenhang zwischen den Koordinaten x' und y' der Punkte P'(x'/y') auf der Geraden g' zu finden. Deshalb eliminiert (= entfernt) man die Variable x (den Parameter) aus dem Gleichungssystem.

x' = 2,5x - 3,75
y' = 1,25x + 1

Du hast hier zwei lineare Gleichungen mit drei Variablen. Wir lösen die erste Gleichung nach der Variablen x (dem Parameter) auf und setzen sie in die zweite Gleichung ein.

x' = 2,5x - 3.75 | +3.75

x' + 3.75 = 2,5x | : 2,5

0,4x' + 1,5 = x

Den Term für x setzt du nun in die zweite Gleichung ein:

y' = 1,25 (0,4x' + 1,5) + 1

y' = 0,5x' + 2,875

Lässt man die Apostrophen weg, dann lautet die Gleichung der Bildgeraden:

g': y = 0,5x + 2,875

Nr. 2

Mit der Pfeilkette folgt:

Mit der Regel "Spitze - Fuß" berechnest duden Vektor

Zwei Vektoren sind gleich, wenn ihre Koordinaten gleich sind. Du kannst demnach folgendes lineares Gleichungssystem aufstellen:

x' = 2,5x - 3,75
y' = 1,25x + 1

Aufgabe:

Die Gerade g wird durch zentrische Streckung auf die Gerade g' abgebildet. Zeichne die Gerade g und g'. Berechne die Gleichung der fehlenden Geraden.

1. g: y = x - 1; Z(0/1); k = -2

2. g': y = x - 1; Z(0/1); k = 2

3. g: y = -0,5x + 1; Z(2/3); k = 1,5

4. g': y = 2x; Z(3/0); k =

5. g: 4x -2y + 5 = 0; Z(1/2); k = -0,5

6. g: y = 0,5x + 3; Z(2/-1); k = 0,4

7. g: y = -x + 4; Z(1/1); k = -1,5

8. g: y = 0,25x, Z(0/-2); k = 2,25

9. g: y = x - 2; Z(3/2); k = -1

Unten im Arbeitsblatt kannst du den Punkt A mit der Maus auf der y-Achse bewegen. Damit stellst du den y-Achsenabschnitt der Geraden g ein. Der Punkt B lässt sich völlig frei bewegen. Benutze ihn um den Steigungsfaktor von der Geraden g einzustellen. Das Streckungszentrum Z lässt sich auch völlig frei bewegen. Mit dem Schieberegler kannst du Streckungsfaktoren zwischen - 5 und + 5 auswählen. Die Schrittweite beträgt dabei 0,1.

Alles klar?

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Nr. 1

1. g: y = x - 1; Z(0/1); k = -2