|
|
|
Geometrie mit Spaß lernen
|
| |
|
|
| |
Strecken ohne Schrecken 18
Koordinaten des Schwerpunktes eines Dreiecks
|
|
| |
|
|
| |
ab Jahrgangsstufe 9 ( erstellt 26. Februar 2007 ff., überarbeitet 30. April 2008) |
|
| |
|
|
| |
Wenn du es bis zur Abschlussprüfung geschafft hast, musst du dich bei nahezu jeder zweiten Aufgabe zur ebenen Geometrie an den Schwerpunkt eines Dreiecks erinnern. Zwei Dinge solltest du dann wissen, oder zumindest dich erinnern, dass dazu etwas in deiner Formelsammlung steht. Und es dort zu finden gehört auch dazu. Aber erst einmal "Grüß Gott". In meiner Begeisterung bin ich wieder mal mitten ins Thema gesprungen. Also was soll dir unvergesslich bleiben?
- Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden des Dreiecks im Verhältnis 2 : 1. Wobei der größere Teil in einem Eckpunkt endet und der kleinere Teil im Seitenmittelpunkt.
- Wie du die Koordinaten des Schwerpunktes aus den Koordinaten der Eckpunkte berechnest. Aber dazu spielst du erst einmal unten mir dem Arbeitsblatt.
Die Eckpunkte des Dreiecks lassen sich mit gedrückter linker Maustaste ziehen. Probiere es aus. Beobachte dabei die Maße der roten und grünen Teilstrecken der Seitenhalbierenden. Wenn das Verhältnis nicht immer ganz genau 2 : 1 liegt es daran, dass die Werte gerundet sind.
Versuche den Zusammenhang zwischen der Koordinaten des Schwerpunktes und den Koordinaten der Eckpunkte zu erkennen.
So und jetzt aktualisierst du das Arbeitsblatt (blaue Pfeile oben rechts), damit die Eckpunkte wieder meine Ausgangswerte annehmen, und schiebst wie immer das Applet zur Seite. So wird am rechten Rand Platz für meine Plauderei.
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
| |
|
| Nr. 1 |
| |
Also welchen Zusammenhang hast Du zwischen den Koordinaten des Schwerpunktes S und den Koordinaten der Eckpunkte gefunden?
Beachte auch meine kleine Rechnung rechts oben! Was habe ich da gemacht?
Ich habe die x-Koordinaten der Eckpunkte addiert und durch 3 geteilt. Und was ist herausgekommen? Richtig, die x-Koordinate des Schwerpunktes.
Selbiges habe ich mit den y-Koordinaten der Eckpunkte gemacht. Ich habe sie addiert und durch 3 geteilt. Und siehe da, ich habe die y-Koordinate des Schwerpunktes bekommen.
An was erinnert Dich das? Na! An was? Meine Güte, geh' bloß nicht zur freiwilligen Feuerwehr, wenn es Deine Angewohnheit ist auf der Leitung zu stehen. Die müssten ja wegen Wassermangels jeden Löschversuch einstellen. 'tschuldigung! Auch ich habe meine Fehler.
Tipp: Wie berechnet man denn die Koordinaten der kleinen grünen Punkte in meiner Zeichnung?
|
| |
|
| Nr. 4 |
| |
Aufgabe:
Der Punkt S ist Schwerpunkt des Dreiecks ABC. berechne die fehlenden Koordinaten.
a) A(-3/1); B(-0,5/2); C(-1/4,5); S( xS/ yS)
b) A(2/2); B(5/4); C(0/9); S(xS/yS)
c) A(-4/-3); B(1/1); C(-2/yC); S(xS/2)
d) A(-2/3); B(xB/1); C(3/5); S(3/yS)
Kontrolliere deine Ergebnisse indem du das Arbeitsblatt links benutzt. Ziehe die Punkte A, B und C zu den entsprechenden Koordinaten.
Unter dem Arbeitsblatt geht es weiter!
|
| |
|
| Nr. 3 |
| |
Der Schwerpunkt S teilt die Strecke [AM] im
Verhältnis 2 : 1. Es gilt:
|
|
| Nr. 2 |
| |
Jetzt habe ich dich mit der Nase in den Misthaufen gestoßen und du solltest etwas riechen. Ja! Ja! Ja! Richtig! Wenn du den Mittelpunkt einer Strecke berechnest machst du es ähnlich. Du addierst die x-Koordinaten und teilst sie durch, na, sehr gut, Du teilst sie durch 2. Und genausooo verfährst du mit den y-Koordinaten.
So gilt z.B. für den Mittelpunkt Ma der Strecke [BC]:
Die Ähnlichkeit, die Verwandschaft, kommt nicht von ungefähr. Das werde ich dir mal kurz mit folgendem Vaterschaftstest beweisen. Beweise magst du nicht? Kann ich verstehen, ich mag sie auch nicht. Aber wenn sie so leicht sind wie hier, gebe ich gerne damit an. Zieh ihn dir rein oder nicht, es spielt keine Rolle. Aber er ist wirklich leicht.
Du musst dich bloß daran erinnern, der Schwerpunkt S teilt die Strecke [AMa] im Verhältnis 2 : 1.
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
Für die Koordinaten des Schwerpunktes S(xS/yS) eines Dreiecks ABC gilt:
|
|
| |
|
|
| |
Aufgabe:
Im Dreieck ABC mit dem Schwerpunkt S gilt: A(1/2); B(10/-1); S(5/3)
a) Zeichne das Dreieck ABC.
b) Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C.
c) Berechne die Koordinaten der Mittelpunkte Ma, Mb und Mc der Seiten des Dreiecks.
d) Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks MaMbMc am Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| Nr. 3 |
| |
weiter b)
Die Reihenfolge der Aufgaben soll dich aber nicht hindern zuerst Mc zu berechnen. Aber wenn du es machst, dann ist folgende Vektorgleichung schneller:
Mit "Spitze - Fuß" und C(x/y) stellst du die beiden Vektoren auf. Aus der Vektorgleichung machst du dann ein lineares Gleichungssystem und löst es. Aber jetzt wollen wir C so berechnen, wie es sich der Aufgabensteller gedacht hat. Du hast die Eckpunkte A und B und den Schwerpunkt S.
Du lässt mich hier waafen und hast schon längst mit der Schwerpunktsformel oben die Koordinaten berechnet. Na gut, aber es gibt aber noch andere, die es gerne einmal vorgeführt bekommen wollen.
|
|
| Nr. 6 |
| |
weiter d)
Wie berechnet man den Flächeninhalt von einem Dreieck im Koordinatensystem? Richtig mit der Determinantenformel.
Du brauchst zwei Vektoren, die das Dreieck ABC aufspannen. Sie müssen einen gemeinsamen Fußpunkt haben, z.B. die Vektoren
Die beiden Vektoren bilden die Spalten in der Determinante. Aber welcher Vektor bildet die erste Spalte? Drehe beide Vektoren im Geiste gegen den Uhrzeigersinn. Derjenige, der das Dreieck überstreicht, ist der erste Vektor.
|
| |
|
| Nr. 5 |
| |
weiter d)
In meinem Arbeitsblatt kannst du mit der Maus die Punkte A, B und S versetzen. Wie immer: Einmal anklicken und sie sind aktiviert. Beim zweiten Mal klicken halte die Maustaste gedrückt und ziehe den Punkt.
Beobachte wie sich oben rechts die Flächeninhalte ändern. Was hat das Seitenmitten-Dreieck mit dem Dreieck ABC gemacht? Es ist zerlegt! Aber in was und wie?
Ganz gleich wo du die Punkte A, B oder S hinsetzt, das Mitten-Dreieck hat einen Flächenanteil von einem Viertel oder 25 %. Es zerlegt das Dreieck ABC in 4 kongruente Teildreiecke. Wenn es dir gelingen würde die Kongruenz der 4 Teildreiecke nachzuweisen, hättest du bewiesen, dass der Flächenanteil des Mittendreiecks ein Viertel ist. Der Augenschein genügt nicht. Da von keinem Realschüler verlangt wird, einen mathematischen Beweis zu führen, sondern nur solche zu verstehen, bleibt dir nur das Rechnen.
Du musst beide Flächeninhalte berechnen und dann eine kleine Prozentrechnung machen.
|
| |
|
| Nr. 4 |
| |
weiter b)
Ich mache niemals etwas ohne Sinn und Plan und List, manchmal ist mein Gewaaf sogar hinterlistig. Lass dich von mir führen und du lernst Mathe.
c)
Wie man die Koordinaten der Mittelpunkte berechnet habe ich dir oben schon gezeigt. Ich habe hier Null Bock es noch einmal zu erzählen. Kontrolliere deine Ergebnisse mit meinem Arbeitsblatt.
d)
Bevor du dich an die Arbeit machst, will ich dir zeigen, was Du herausbekommen wirst.
|
| |
|
| Nr. 7 |
| |
weiter d)
Hier also der Vektor  . Wenn du die Vektoren verkehrt herum einsetzt, bekommst du eine negative Fläche heraus. Streiche deine Rechnung nicht durch, sondern setze nachträglich Betragstriche. Damit ist es repariert.
Mit dem Mittendreieck machst Du es genauso z.B. mit
|
| |
|
| Nr. 2 |
| |
weiter b)
Richtig, es heißt "Berechne die Koordinaten des Vektors zu diesem Punkt". Du müsstest also eine Pfeilkette bilden, hier z.B.
Halt! Halt! Stürz Dich nicht gleich in die Arbeit. Es gibt noch einen schnelleren Lösungsweg. Warum ich dich veralbere und einen Lösungsweg beschreibe, den ich gar nicht begehen will? Weil ich möchte, dass du die Werkzeuge überdenkst, die dir zur Verfügung stehen um solche Aufgaben zu lösen. Und es sind eigentlich immer dieselben Werkzeuge und deine Aufgabe besteht nur darin zu entscheiden, welche schnell zum Ziel führen.
So eine Matheaufgabe hat eine innere Logik und diese innere Logik gibt dir entscheidende Hinweise auf den Lösungsweg. Die innere Logik hier ist: Du sollst zunächst die Koordinaten von C berechnen und erst danach die Koordinaten der Mittelpunkte. Das ist ein Hinweis darauf, dass es eine Lösung für C geben muss, bei der du die Koordinaten von Mc nicht brauchst
|
| |
|
| Nr. 1 |
| |
Wie du den Mittelpunkt einer Seite findest oder besser finden sollst, kommt auf deinen Lehrer an. Die einen wollen eine saubere Konstruktion, die anderen geben sich damit zufrieden, wenn der Mittelpunkt mit dem Geodreieck ausgemittelt wird.
Da hier nicht ausdrücklich steht "Konstruiere" sondern nur "Zeichne" darfst du den Mittelpunkt Mc mit dem Geodreieck finden.
Wozu du Mc brauchst? Ja wie willst du denn sonst den Punkt C finden. Überlege dir in welchem Verhältnis der Schwerpunkt S die Strecke [CMc] teilt. So jetzt solltest du es eigentlich alleine schaffen.
Wenn Du fertig bist, oder es doch nicht ganz klappt, dann darfst du dir mit dem Player das Ganze ansehen.
b)
Wie kannst du die Koordinaten von C berechnen? Mir fallen da spontan drei Möglichkeiten ein. Weißt du noch, wie du die Aufgabenstellung umformulieren musst, wenn es heißt "Berechne die Koordinaten eines Punktes"?
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
| |
Eigentlich wollte ich mit dieser Seite die Lerneinheit zur zentrischen Streckung abschließen. Aber wir sind ja in der Wahlfachgruppe I und da darf es schon ein wenig anspruchsvoller sein. Und so will ich dir zeigen, dass du auch vor solchen Aufgaben nicht zurück weichen musst. Du kannst es, ja du kannst es. |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 21:48
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
|
|
|
|
