Und man konnte eine Aufgabe in Angriff nehmen, die solche nicht-ganzzahligen Teiler sucht. Man unterstellt hier die Existenz von etwas, dass wir heute rationale Zahlen nennen. Und das macht diese Aufgabe so bedeutsam. Besonders wenn man bedenkt, dass man in Europa erst Jahrtausende später begann damit zu rechnen.

Ahmes nimmt an, der Haufen besteht aus 7 gleich großen Teilen. Dafür steht im Text:

7/1 und 1/7

In heutiger Schreibweise bedeutet das

y = 7x
x = (1/7)y

Nun fordert die Aufgabe, dass zu den 7 Teilen ein weiterer ebenso großer Teil hinzugefügt werden soll.

7x + 1x = 8x
8x = 19
x = 19/8

Eine solche Division stellte für Ahmes keine Schwierigkeit dar. Die Ägypter hatten ein raffiniertes Schema für die Division erfunden, das nur mit Verdoppeln und Halbieren auskam.

In der rechten Spalte wird der Divisor 8 schrittweise verdoppelt, und zwar so lange, bis die nächste Verdoppelung größer als der Dividend 19 wäre. In der linken Spalte wird angefangen mit 1 einfach verdoppelt. Wenn rechts die größte Zahl erreicht ist, wird der Divisor 8 einfach schrittweise halbiert bis die 1 erreicht ist. Entsprechend wird links die 1 fortwährend halbiert.

Viel von der Mathematik der Alten Ägypter zur Zeit der Pyramiden kennen wir aus zwei ausgegrabenen Papyrus-Rollen, dem Papyrus RHIND und den Papyrus MOSKAU. Der Papyrus MOSKAU heißt nach seinem Aufbewahrungsort, dem Museum der Schönen Künste in Moskau. Der Papyrus RHIND wurde 1858 von dem Ägyptologen Alexander Henry Rhind in Theben ausgegraben. Der Papyrus wurde von dem Schreiber Ahmes bzw. Ahmose angefertigt. Ahmes lebte etwa 1680 v.Chr. bis 1620 v.Chr. und er bestätigt selbst, dass er nicht der Autor ist, sondern es sich um eine Kopie eines ca. 200 Jahre älteren Papyrus handelt.

Der Papyrus ist in hieratischer Schrift geschrieben und die Rolle war ursprünglich 5,40 m lang und 32 cm breit. Er hat sogar einen richtigen Buchtitel:

"Genaues Rechnen. Einführung in die Kenntnis aller existierenden Gegenstände und aller dunklen Geheimnisse"

Der Papyrus RHIND enthält 84 Aufgaben sowie eine Tafel der Divisionen 2 : n. Viele der Aufgaben sind Verteilungs-Aufgaben, z.B. über die Verteilung von Broten. Aber es finden sich auch sehr viele geometrische Aufgaben z.B. Flächenberechnungen von Dreiecken, Kreisen und Rechtecken. Natürlich gibt es auch Aufgaben zu Pyramiden. Die Rechenkunst war im Alten Ägypten unentbehrlich für die Verwaltung des Reiches und hatte einen hohen praktischen Nutzen.

Die Aufgabe 24 ist eine sogenannte "HAU"-Rechnung. Mit HAU wird etwas bezeichnet, das man wörtlich mit "Haufen" übersetzt und im mathematischen Sinn eine unbekannte Größe oder Menge darstellt. Die Aufgabe lautet:

Ein Haufen und sein Siebtel sind 19

Diese Aufgabe steht stellvertretend für eines der Grundprobleme in der Mathematik. Wie kann aus gegebenen bekannten Größen auf gesuchte unbekannte Größen geschlossen werden? Man errechnet exakte Zahlen aus Größen, deren genaue Beschaffenheit man nicht kennt.

Auch wenn Ahmes die genaue Größe des Haufens nicht kennt, nimmt er an, dass er aus 7 gleich großen Teilen besteht. Das ist sozusagen die erste Idee zur Lösung der Aufgabe. Mit welchem Recht nimmt er 7 Teile an?

Der Haufen ist nicht nur ein "Ganzes", sondern auch ein "Vieles". Jedes Ganze, das nicht elementar ist, ist aus Teilen zusammengesetzt. Man kann also zwar willkürlich aber zulässig annehmen, dass dieses Ganze aus 7 Teilen besteht. Das ist eine Art Hypothese, die natürlich bewiesen werden muss.

Es ist übrigens nicht die Rede davon, dass es sich um 7 ganzzahlige Teile handelt. Und diese Tatsache unterstreicht ebenfalls das hohe geistige Niveau der ägyptischen Rechenkunst. Wer solche Aufgaben überhaupt stellt, der muss eine Vorstellung von der inneren Struktur der Welt haben und davon, dass es sozusagen Einzelteile dieser Welt gibt.

Warum nimmt Ahmes als Summe die 19, wo er doch z.B. mit 28 viel einfacher hätte rechnen können? Wahrscheinlich gerade um zu zeigen, dass er das ausrechnen kann. Natürlich wusste man im Alten Ägypten, dass eine Primzahl wie die 19 keine Teiler hat. Aber offenbar wusste man auch, dass eine Primzahl lediglich keine ganzzahligen Teiler hat.

Fortsetzung am linken Rand !