Wie erzeugt der Computer Apfelmännchen, d.h. die Mandelbrotmenge ?

Das Apfelmännchen entsteht durch iterative Berechnung. Häääääh?

Ich habe es gehört, Du hast ganz laut "Häh" gesagt. Also wat is "iterativ"?

Der Begriff Iteration stammt von dem lateinischen Wort iteratio = Wiederholung ab. So und jetzt bewaffnest Du Dich mit Deinem Taschenrechner und wir werden gemeinsam eine Mandelbrot-Iteration machen und wegen der Wiederholung, geht es Dir vielleicht auf die Nerven.

Gib in Deinen Taschenrechner die 0 ein, quadriere sie und addiere die Zahl 3 (Halte mich nicht für blöde, ich will Dir nur ein Mathe-Koch-Rezept beibringen, eine Iteratio.). Was steht jetzt im Ergebnisspeicher Deines TR (soll Taschenrechner heißen)? Richtig, die Zahl 3.

Jetzt fangen wir an wieder dasselbe zu kochen, mathematisch heißt das "iterieren". Steht die Zahl 3 noch in Deinem Display? Jetzt die x²-Taste, wir quadrieren das Ergebnis und addieren 3. Macht? Richtig ! Das Ergebnis ist 12!

The same procedure as every year! Aber ich fürchte, ich bin zu alt und Du kennst Freddy Frimpton nicht. Was steht im Display des TR, ja 12. Wieder x²-Taste, d.h. quadrieren und 3 addieren. Display TR? Bei Dir steht die Zahl 147 ? Spitze! Du hast es kapiert!

Was haben wir gemacht? Wir haben einen Anfangswert quadriert und dann 3 addiert. Das Ergebnis haben wir quadriert und 3 addiert. Und wieder haben wir das Ergebnis quadriert und 3 addiert. Jetzt verstehst Du das mit der Iteratio und den Nerven.

Du ahnst es schon, wie immer, gibt es dafür eine Schreibweise:

z_n -> z_n² + c = z_n+1

Das n zählt die Anzahl der Wiederholungen. Unser z₀ war die Zahl 0. Unser z₁ war 3 und unser z₂ war 12, und unser z₃ war 147.. Und unser c war die Zahl 3.

Ganz einfach gesagt, haben wir die Formel
z_n+1 = z_n² + c benutzt. Alsooo gilt:

z₁ = z₀² + 3
3 = 0² + 3

z₂ = z₁² + 3
12 = 3² +3

z₃ = z₂² + 3
147 = 12² + 3

usw.

Wenn wir so weiter machen würden, erzeugen wir eine Zahlenfolge {0; 3; 12; 147; 21612; ...}, deren Zahlen immer größer werden und sozusagen ins Unendliche entfliehen.

Was hat das aber mit unserem Apfelmännchen zu tun ? Du wirst einsehen das der Platz hier am linken Heftrand ziemlich eng ist und ich brauche einfach eine neue Seite um es Dir weiter zu erklären.

Also es geht weiter mit der Seite Iteration und Apfelmännchen und wer ist Julia.

Fraktale sind zunächst geometrische Gebilde mit einer unendlich feinen Struktur, die sich stets -verkleinert- wiederholt. Vergrößert man also umgekehrt Teile der Figur, so stößt man stets auf die gleiche Grundstruktur und dieses Vergrößern kann beliebig oft geschehen. Dem sind nur durch die Rechengenauigkeit des PCs Grenzen gesetzt.

In der Realschule beschäftigen wir uns nicht mit Fraktalen, aber da sie zeigen, dass sich Schönheit und Mathematik nicht ausschließen, kannst Du hier ein wenig mit ihnen spielen.

Random : Die Grundfigur wird durch Zufallsgenerator erzeugt

Mouse : Die Grundfigur wird mit der Maus erzeugt.

Einzelne Äste werden mit gedrückter Maustaste justiert.

branches : Es können hier 2,3 oder 4 Äste eingestellt werden.

base figure : In einem Fenster wird die erzeugende Figur gezeigt

Fraktale Geometrie ist in erster Linie eine neue Sprache und unterscheidet sich grundlegend von den Elementen der euklidischen Geometrie wie Linie, Kreis und Kugel wie Du sie kennst. Die fraktale Sprache drückt sich in Algorithmen (= Berechnungsverfahren) aus, das heißt in Verfahrensregeln und -anweisungen, die sich erst mit Hilfe eines Computers in Formen und Strukturen verwandeln.

Wie man unsere Schulgeometrie euklidisch nennt, weil sie auf einen alten Griechen namens Euklid zurückgeht, so müsste man diese Geometrie Mandelbrot-Geometrie nennen, weil sie von einem Mathematiker namens Benoit B. Mandelbrot "gefunden" wurde.

Die Essenz der Mandelbrotschen Botschaft ist, dass viele natürliche Strukturen, wie z.B. Wolken, Gebirge, Küstenlinien, Blumenkohl, Farne und vergleichbare Strukturen scheinbar uneingeschränkter Komplexität tatsächlich eine geometrische Regelmäßigkeit haben - die sogenannte Skaleninvarianz (Selbstähnlichkeit). Das heißt, wenn man die Struktur bei verschiedenen Vergrößerungsstufen betrachtet, stößt man immer auf die selben Grundelemente.

Das wohl schönste Fraktal ist das 1976 von Mandelbrot entdeckte "Apfelmännchen" oder Mandelbrot-Menge.