Genau wie bei den Vektoren gibt es bei den Matrizen eine Addition. Und sie funktioniert genau wie bei den Vektoren:
Die Addition gibt es allerdings nur, wenn die Matrizen vom gleichen Typ sind. Du kannst also eine 2x2-Matrix nur zu einer 2x2-Matrix addieren. Eine 2x3-Matrix lässt sich nicht zu einer 2x1-Matrix addieren.
Und es gibt eine Matrizenmultiplikation, und die gibt es bei Vektoren nicht. Sonst könnte man ja einen Vektor glatt für eine Matrix halten. OK, Vektoren sind den Matrizen seelenverwandt, aber nicht dasselbe. Doch wenn du einen Vektor mit einer Matrix multiplizierst, tut er wirklich so als wäre er eine Matrix. Er steht auf Matrizen.
Ich zeige dir jetzt, wie man eine 3x3-Matrix mit einer 3x1-Matrix multipliziert. Wenn du meine Multiplikation betrachtest, dann überlege dir warum die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist. Also warum kannst du die Faktoren nicht vertauschen?
Du kombinierst die erste Zeile der linken Matrix mit der ersten Spalte der rechten Matrix. Na gut, da hast du nur eine Spalte. Dann kombinierst du die zweite Zeile der linken Matrix mit der ersten Spalte der rechten Matrix. Na gut, du hast nur eine Spalte. Letztlich kombinierst du die dritte Zeile der linken Matrix mit der ersten Spalte der rechten Matrix. Na gut, ich gebe ja schon Ruhe. Aber wenn die rechte Matrix 2, 3 oder "wer weiß was ich" für viele Spalten hat, dann müsstest du die Multiplikation Spalte für Spalte durchführen.
Hier habe ich eine 3x3-Matrix von rechts mit einer 3x1-Matrix multipliziert, und das Ergebnis ist eine 3x1-Matrix. Wenn du eine 3x3-Matrix von rechts mit einer 3x5-Matrix multiplizierst, bekommst du als Ergebnis eine 3x5-Matrix.
Erinnert dich das nicht an irgend etwas? Kommt dir das nicht bekannt vor?
Wir schreiben bei uns an der Realschule unsere Vektoren als Spaltenvektoren. Man könnte sie aber auch als Zeilenvektoren schreiben. Stell dir einmal vor, dass die linke Matrix aus Zeilenvektoren besteht und die rechte Matrix aus Spaltenvektoren. Was machst du dann eigentlich bei der Matrizenmultiplikation? Also was machst du?
Du bildest das Skalarprodukt zwischen den linken Zeilenvektoren und den rechten Spaltenvektoren. Kannst du jetzt die Frage beantworten, warum es bei der Matrizenmultplikation kein Kommutativgesetz gibt?
Die linke Matrix muss so viele Spalten haben, wie die rechte Matrix Zeilen hat. Die Matrizen müssen aneinander passen wie Dominosteine. Selbst bei der Multiplikation von quadratischen Matrizen, also z.B. 2x2-Matrizen ist das Ergebnis unterschiedlich, wenn du die Faktoren vertauschst.
Bei unseren Abbildungen gibt es nur quadratische 2x2-Matrizen und die stehen immer links vor dem Vektor. Und unsere Vektoren sind immer 2X1-Vektoren (oder auch 2x1-Matrizen). Und ich verrate dir jetzt sofort ein tiefes Geheimnis, selbst wenn du mein Geschmarri über die Matrizenmultiplikation nicht verstanden hast, wirst du das Nachfolgende begreifen. Für dich ist dann eine Matrix, z.B. eine Drehmatrix, nur eine Maschine, die einen Vektor verhackstückt, sozusagen ein Vektorfleischwolf. Du weißt nicht was ein Fleischwolf ist? OOOhhhuuuuuuh! Beschäftige dich unten mit dem Arbeitsblatt. Dort zeige ich die Drehmatrix als Verhackstückmaschine.
Mit Mausklick auf 1,2, 3 usw. unten blendest du im Rand meine Plaudereien ein. |
ändern.
mittels der Quadratbeziehung durch 
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