Gefällt dir meine Zapfsäule? Da siehst du mal wieder, was du mit einer Geometriesoftware wie GeoGebra alles anfangen kannst.

Ok! Was kannst du mit der Zapfsäule anstellen?

Du kannst mit dem unteren Schieberegler den Benzinpreis pro Liter einstellen. Gehe einmal an einer Tankstelle vorbei und schau dir die Tankanzeigen an. Dort findest du genau die gleichen wie bei mir und auch in der selben Reihenfolge.

Mit dem oberen Schieberegler stellst du die getankte Menge in Litern ein. Hier kannst du zwischen der Mindestmenge 5 Liter und 100 Litern wählen.

Eigentlich habe ich den Schieberegler auf eine Schrittweite von 0,01 Litern eingestellt, Es würde bedeuten, dass du mit dem Schieberegler 9500 verschiedenene Benzinmengen wählen können müsstest. Aber selbst wenn du Hebammenfinger hast, wird dir das auf dem kurzen Schieberegler nicht gelingen.

Spiele ein wenig damit und schaue was passiert.

Nehmen wir einmal, an unsere Regierung gibt für arme Familien Benzingutscheine heraus, die auf 100 Euro lauten. Jeden Monat bekommen sie solch einen Gutschein. Jeder, der so einen Gutschein hat, wird sich natürlich dafür interessieren, wie viel Liter Benzin er dafür bekommt. Hier wäre ein Quotient sehr sinnvoll. Wer kann schon bei einem Preis von z.B. 1,089 Euro pro Liter ausrechnen, wie viel Liter Benzin er für 100 Euro bekommt?

Langer Rede kurzer Sinn: Mathematisch gesehen sind beide Quotienten gleichwertig, aber nicht immer gleich sinnvoll.

Eigentlich will ich dir ja zeigen, warum das mit dem Über-Kreuz-Multiplizieren bei direkten Proportionalitäten so schön funktioniert.

Alle Quotienten sind gleich. Du kannst sie gleichsetzen:

Multipliziere unten in der Tabelle über Kreuz und versuche die Gleichung auf die obige Form zu bringen.

Was ist, oder besser was war ein Groschenweck. In manchen Gegenden Deutschlands bezeichnet man noch heute Semmeln/Brötchen als Wecken. Ein Groschenweck war ein übergroßes Brötchen, also ein kleines Weißbrot und er hat durch die Jahrhunderte immer einen Groschen gekostet.

Die Menschen damals hat nicht interessiert, wie viele Wecken sie für 5 Groschen bekommen. Das war ja klar, es waren immer 5 Stück.

Hat es denn damals keine Preissteigerung gegeben? Doch natürlich, der Weizenpreis ging je nach dem Ernteertrag rauf und runter. Der Bäcker musste reagieren, wenn er nicht drauf zahlen wollte. Am Preis konnte er nichts ändern. Der Groschenweck musste einen Groschen kosten. Er hat das Gewicht verändert.

Die Menschen hat damals interessiert, welches Gewicht, welche Menge Weißbrot, bekommen sie z.B. für 3 Groschen. Damals hat man natürlich nicht in Gramm gewogen, sondern in Loth. Damals war der Proportionalitätsfaktor durchaus interessant.

Ich hätte eigentlich nicht nach der "Richtigkeit" des Proportionalitätsfaktors fragen dürfen, sondern nach der "Sinnhaftigkeit" fragen müssen.

Wenn du aus den Zahlenpaaren, die eine Zapfsäule erzeugt hat, den Quotienten bildest, bekommst du den Preis pro 1 Liter Benzin heraus. Das ist zweifellos sinnvoll und jeder der tankt interessiert sich dafür.

Aber wäre unter bestimmten Umständen auch sinnvoll. Wenn du diesen Quotienten bildest, was rechnest du dann eigentlich aus?

Du rechnest aus, wie viel Benzin du für 1 Euro bekommst. Das sei doch Quatsch meinst du?

Ich will dir einmal eine Geschichte aus der Geschichte erzählen. In Bayern hat es Jahrhunderte lang einen solchen Proportionalitätsfaktor gegeben und zwar beim Groschenweck.

Das Ergebnis sollte dir bekannt vorkommen.

Die Zahlenpaare einer direkten Proportionalität sind quotientengleich.

Ich hoffe, du weißt noch was ein Quotient ist.

Euro : Liter ist ein Quotient, aber auch Liter : Euro ist ein Quotient. Du weißt hoffentlich ebenfalls noch, dass man einen Quotienten auch als Bruch schreiben kann.

Ganz gleich welchen Quotienten du ansetzt, er ist für alle Zahlenpaare gleich.

Der Quotient heißt Proportionalitätsfaktor.

Welcher Proportionalitätsfaktor oder gilt nun für unsere Zapfsäule, welcher ist der richtige?

Du sagst sei der richtige Proportionalitätsfaktor? Vorsicht! Ich habe den Begriff "richtig" trickreich falsch gewählt. Für eine Zapfsäule ist sinnvoller! Warum?

Weißt du eigentlich, dass so eine Zapfsäule eine mathematische Maschine ist? Sie erzeugt nämlich ohne Unterlass direkt proportionale Zahlenpaare. In meiner Wertetabelle oben kannst du selbst solche Zahlenpaare erzeugen. Bei den ersten drei Paaren habe ich nur die Literzahl festgelegt. Je nach dem von dir eingestellten Literpreis wird dann der zugehörige Zahlungsbetrag berechnet.

Die drei Zahlenpaare sind direkt proportional. In der 4. Spalte erscheint die von dir eingestellte Tankmenge. Den Wert für das x unten kannst du ja oben auf der Zapfsäule ablesen.

Das x habe ich reingeschrieben, damit du es mittels einer Über-Kreuz-Multiplikation berechnen kannst. Zur Kontrolle hast du dann die Zapfsäule.

Lege dir doch selbst eine Tabelle an und erzeuge mit der Zapfsäule direkt proportionale Zahlenpaare. Du darfst dann dabei natürlich deinen Literpreis nicht verändern. Aus jedem Zahlenpaar bildest du den Quotienten .

Ich rechne mit den von mir voreingestellten Zahlen. Wenn du im Arbeitsblatt im rechten Eck oben auf die blauen Pfeile klickst, kommst du wieder zu meiner Voreinstellung.

Du siehst, du erhältst die gleichen Quotienten wie oben.

So jetzt habe ich dir gezeigt, warum das mit dem Über-Kreuz-Multiplizieren unten in der Tabelle funktioniert. Es liegt an der Quotientengleichheit bei einer direkten Proportionaltät.

Die kleinen Tabellen bei der Prozentrechnung stellen auch Paare von direkten Proportionalitäten dar. Also funktioniert das Über-Kreuz-Multiplzieren auch dort.

Ja, du kannst selbstverständlich sagen, das hat's jetzt nicht gebraucht. Du hast mir schon vorher geglaubt. Na gut, dann habe ich dich hoffentlich gut unterhalten und dir das Über-Kreuz-Multiplizieren ins Gedächtnis gebrannt.

Veranschauliche bitte wieder die Ergebnisse im Hunderterfeld links. Vielleicht schaltest du ja dazu unten die Hilfestellung durch die Zahlenangaben aus, und schaust erst nach, wenn du glaubst, du hast es richtig gemacht.