Ich freue mich, dich auch auf dieser Seite wieder zu treffen. Du weißt noch, was ich versprochen habe ? Ich will Dir mehr von dem tief, sehr tief nachsinnenden Mathematiker erzählen und seinem Problem mit 1 + i. Was ist das, die Summe aus der reellen Zahl 1 und der imaginären Zahl i ?

Was sagst Du den Trick kennst Du schon ? Wir seien alte Trickser ? Immer wenn eine Rechnung nicht mehr geht, erfinden wir neue Zahlen, damit sie geht ? Es sei doch immer dasselbe Lied mit uns ? In der 5. Klasse hätten wir so die negativen Zahlen "erfunden". In der 6. Klasse die Bruchzahlen und in der 9. Klasse die irrationalen Zahlen.

Oben in dem Applet kannst Du Dir noch einmal auf der Zahlengeraden reelle Zahlen ansehen. Was, ich schummel schon wieder ? Meine Güte Du hast wirklich was drauf. Du hast ja recht, den genauen Punkt auf der Zahlengeraden für die Zahl 1/3 kann niemand genau einzeichnen. 1/3 ist nur ein Schreibsymbol und 0,333333333..... auch. Wirklich niemand ? Wähle einfach die Längeneinheit 1 LE = 3 cm. Siehste! Bei 1 cm habe ich ein Problem. Jetzt kommst Du mir auch noch mit den Wurzeln. Dieses Problem lösen Mathematiker schlicht und einfach damit, dass sie soviele Kommastellen ausrechnen, wie sie brauchen. Du kannst Ö 2 auch ohne die Wurzeltaste Deines Taschenrechners berechnen. Ich wette, Dein Lehrer hat Dir gezeigt, wie man so etwas macht.

Ohhh, oh oh oh, nein! Na gut, ich weiß, Du hast manchmal ein Gedächtnis wie zwischen Mitternacht und "siehst mich nicht". Ich sage nur Intervallschachtelung. Ich habe hier nicht so viel Platz Dir das auch noch zu erklären. Wie wäre es mit weniger Einwänden und mehr Eigeninitiative.

Zurück zu unserem Nachsinner, der überlegt sich nämlich auch, wo auf dieser Zahlengeraden i oder 1 + i liegt. Plötzlich schreit er: "I 've got it", 'tschuldigung ich schrei' die Übersetzung: "Ich hab's". Wer Englisch kann, hat mehr vom Leben und vor allem mehr vom Internet. Es ist dieeee Lingua Franca unserer Zeit. Schau gefälligst in 'ne Suchmaschine, wenn Du wissen willst, was das heißt. Entschuldigung, meine Familie sagt auch ständig ich sei zu lehrerhaft. Konzentration !

Welche Idee hatte er ? Klicke einfach unten in dem Koordinatensystem herum und schaue oben links auf die Rechnung. Da werden immer reelle Zahlen und imaginäre Zahlen addiert. Was hat das mit den Punkten zu tun, die Du anklickst ? Achte auf die x- und y-Koordinaten!

Was soll das ? Da wird doch gar kein Ergebnis angezeigt. Zu jedem Punkt im Koordinatensystem gibt es eine Addition.

Spitze ! You've got it! Clever, nicht wahr ? Wenn er addiert 2 + 3i, ordnet er dieser Addition einfach den Punkt (2/3) zu. Er interpretiert einfach die y-Achse im Koordinatensystem als Zahlengerade für die imaginären Zahlen. Wir haben keine Zahlengerade mehr, sondern eine Zahlenebene. Na gut, mit dem Trickser kann ich leben. Es ist auch wirklich gemein, einer Addition einer reellen Zahl und einer eingebildeten Zahl einen Punkt im Koordinatensystem zuzuordnen und zu sagen, dieser Punkt stellt eine komplexe Zahl dar.

Ob man mit diesen Zahlen rechnen kann und wie das gehen soll ? Ich hoffe, ich kann Dich überzeugen. Du kennst das schon, alle alten Rechenregeln müssen uneingeschränkt weiter gelten. Weißt Du noch wie dieses Prinzip in der Mathematik heißt ? Trickserprinzip ? Sei halt nicht so negativ. Es heißt Permanenzprinzip, weil permanent, immer, unter allen Umständen die alten Rechenregeln auch für die neu gefundenen Zahlen gelten müssen, sonst käme plötzlich für 3 + 3 als Ergebnis die Zahl 17 heraus. Willst Du sowas ?

Der Name der neuen Zahlen "komplexe Zahlen" scheint darauf hinzuweisen, dass sie kompliziert sind. Nein, das sind sie aber nicht. Du solltest das Wort "komplex" mit "zusammengesetzt" übersetzen. Reelle Zahlen lassen sich durch ein Schreibsymbol darstellen, hier scheinst Du zwei zu brauchen oder Du musst sie sogar durch eine Addition (Binom = zweigliedriger Term) darstellen.

Wie addiert man nun solche komplexen Zahlen ?

Wenn Du da oben im Applet 'rumklickst, wirst Du merken, dass Du immer zwei komplexe Zahlen addierst. Aber wie ? Du addierst koordinatenweise. Hääähhh?

Jeder Punkt im Koordinatensystem stellt eine komplexe Zahl dar. Die x-Koordinate ist ihr reeller Teil und die y-Koordinate ist ihr imaginärer Teil. Wenn Du jetzt zwei komplexe Zahlen addierst, dann addierst Du die beiden x-Koordinaten und die beiden y-Koordinaten. Also gilt:

(2 + i) + (3 + 2i) = (5 + 3i)

Man könnte dafür auch die appellsche Schreibweise (macht kein Mensch) anwenden.

(2/i) + (3/2i) = (5/3i)

Bei so einer komplexen Zahl hat natürlich jeder Anteil sein eigenes Vorzeichen. Und es gelten bei der Addition die Regeln für zweigliedrige Klammerterme.

You've got it! It's the same procedure like to add vectors. Also jetzt bin ich echt sauer. So einen einfachen englischen Satz verstehst Du nicht ? Jetzt gebe ich Dir mal meinen Geheimtip. Im Web gibt es Leo, das ist ein online-Wörterbuch, aber ein ganz spezielles. Es macht Dir zu einem Wort oder einer zusammengesetzten Phrase, einen Übersetzungsvorschlag. Phrase verstehst Du auch nicht ? Schau ins Lexikon! Gib bei Leo ruhig ein, was Du suchst. Du bekommst eine Menge Vorschläge. Aber Du hast die Schwierigkeit zu entscheiden, was ist nun wirklich passend. Meine Güte ich komme wirklich von meinem Job nicht los.

Kommen wir zurück zu Deiner Idee, dass die koordinatenweise Addition Dich an die Addtion von Vektoren erinnert. Und recht hast Du, kein Mensch kann Dich daran hindern, die Addition komplexer Zahlen als Addition von Vektoren anzusehen. Probiere das Applet unten aus und vergleiche es mit dem Letzten.

Ich habe Dir doch versprochen, wenn Du Vektoren addieren kannst, dann kannst Du auch komplexe Zahlen addieren. Und die Subtraktion erledigst Du durch die Addition des Gegenvektors. Du willst es auch noch mal ausführlich vorgeführt bekommen ?

(2,5 - 3,1i) - (-1,2 + 2,2i) = 2,5 - 3,1i + 1,2 - 2,2i = 3,7 - 5,3i

oder in meiner Spezialschreibweise

(2,5/-3,1) - (-1,2/2,2) = (2,5/-3,1) + (1,2/-2,2) = (3,7/-5,3)

Für unsere Iterationsformel beim Apfelmännchen müssen wir wissen, was das Quadrat einer komplexen Zahl ist. Damit sind wir bei der Multiplikation. Du meinst, das geht jetzt genauso einfach ? Die Multiplikation zweier Vektoren kennst Du schon ? Skalarprodukt und so ? Hier muss ich Dich enttäuschen. Bei der Multiplikation versagt die Interpretation der komplexen Zahlen als Vektoren im Koordinatensystem. Ich führe Dir erst mal so eine Multiplikation vor.

(2 + 3i) · (4 - 2i) = 2 · 4 - 2 · 2i + 3i · 4 - 3i · 2i = 8 - 4i + 12i - 6ii = 8 + 8i + 6 = 14 + 8i

Hier bei der Multiplikation muss ich eine komplexe Zahl als zweigliedrigen Klammerterm behandeln. Und zwei Klammern multipliziert man bekanntlich, indem man jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert. Du meinst, das sei die zweimalige Anwendung des Distributivgesetzes. Spitze! Freut mich wirklich, dass Du das noch weißt. Machen wir weiter. Die Teilprodukte addieren wir dann.

Du hast nicht ganz verstanden wie aus -6ii die Zahl +6 wird? Erinnere Dich was i eigentlich bedeutet. Auf der letzten Seite setzten wir Ö (-1) = i , nun ist aber Ö (-1) · Ö (-1) = -1. Jetzt kapiert? Ok! So das Ergebnis dieser Multiplikation kannst Du jetzt wieder als Vektor interpretieren und das wird unten in dem Applet auch gemacht. Probiere das Applet ein paarmal aus und versuche vorherzusagen, wo der Ergebnisvektor auftaucht. Du könntest natürlich auch Deine Klickerei zu Fuß nachrechnen. Da hast Du keinen Bock zu ? Hätte ich auch nicht.

So ich hoffe, Du hast ausgiebig probiert, denn sonst sind Dir einige Merkwürdigkeiten entgangen. Das Applet berechnet iterativ mit Deinem c eine komplexe Zahlenfolge. Die Ergebnisse werden durch kleine farbige Kreuze markiert. Bei manchen c erzeugen diese Ergebnisse die seltsamsten Muster. Sie bilden Sterne oder Spiralen, um sich dann immer mehr einer bestimmten komplexen Zahl anzunähern. Bei einem anderen c liegen die Ergebisse alle auf einem Haufen, dann wieder gibt es merkwürdigerweise 4 oder mehr Haufen. Dann hast Du c's, da bricht die Iteration des Applets schon nach der ersten Berechnung ab, weil das Ergebnis ausserhalb des Darstellungsbereiches liegt. Beim nächsten c kannst Du die Iteration 30 Schritte lang durchführen und die Punkte liegen völlig regellos im Darstellungsbereich.

Versuche es noch einmal und diesmal systematischer. Erzeuge einen Stern, eine Spirale oder andere Muster.

Für das Verhalten dieser komplexen Zahlenfolgen haben die Mathematiker natürlich eine Fachsprache entwickelt und damit das Verhalten geordnet und klassifiziert. Diese Begriffe will ich Dir hier ersparen. Dieses verschiedene Verhalten der komplexen Zahlenfolgen setzt nun der Computer beim Apfelmännchen in farbige Punkte um und erzeugt so die wunderschönen fraktalen Bilder.

So und weil diese Seite so lange geworden ist, höre ich hier auf und mache noch eine weitere. Ich hab' ja noch immer nicht erklärt wer Julia ist und wie man aus dem Verhalten der komplexen Zahlenfolgen farbige Pixel macht.

Quelle M. Casco Associates